Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2128 / 1360
↖ ↑ ↗
← N 51.618016°
E  7.031250°		 ← 6 068.06 m → N 51.618016°
E  7.119140°		 →
↑
6 071.69 m
↓
↑
6 071.69 m
↓
N 51.563412°
E  7.031250°		 ← 6 075.36 m →
36 865 543 m²		 N 51.563412°
E  7.119140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5196533203125 y=0.3321533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5196533203125 × 212)
    floor (0.5196533203125 × 4096)
    floor (2128.5)     		tx = 2128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3321533203125 × 212)
    floor (0.3321533203125 × 4096)
    floor (1360.5)     		ty = 1360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2128 / 1360 ti = "12/2128/1360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2128/1360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2128 ÷ 212
    2128 ÷ 4096     		x = 0.51953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1360 ÷ 212
    1360 ÷ 4096     		y = 0.33203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51953125 × 2 - 1) × π
    0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33203125 × 2 - 1) × π
    0.3359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05537878203516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12271846} λ = 0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05537878203516))-π/2
    2×atan(2.87306321255058)-π/2
    2×1.23585033445059-π/2
    2.47170066890119-1.57079632675     		φ = 0.90090434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90090434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.618016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2128 KachelY 1360 0.12271846 0.90090434 7.031250 51.618016
    Oben rechts KachelX + 1 2129 KachelY 1360 0.12425244 0.90090434 7.119140 51.618016
    Unten links KachelX 2128 KachelY + 1 1361 0.12271846 0.89995132 7.031250 51.563412
    Unten rechts KachelX + 1 2129 KachelY + 1 1361 0.12425244 0.89995132 7.119140 51.563412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90090434-0.89995132) × R
    0.000953019999999971 × 6371000     		dl = 6071.69041999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90090434-0.89995132) × R
    0.000953019999999971 × 6371000     		dr = 6071.69041999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12271846-0.12425244) × cos(0.90090434) × R
    0.00153398 × 0.620901320323887 × 6371000     		do = 6068.06027102965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12271846-0.12425244) × cos(0.89995132) × R
    0.00153398 × 0.621648099888082 × 6371000     		du = 6075.35853768874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90090434)-sin(0.89995132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620901320323887-0.621648099888082)×R²
    abs(0.12425244-0.12271846)×0.000746779564195221×R²
    0.00153398×0.000746779564195221×6371000²
    0.00153398×0.000746779564195221×40589641000000     		ar = 36865542.6137254m²