Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2128 / 6224
↖ ↑ ↗
← N 39.639537°
W133.242187°		 ← 1 881.45 m → N 39.639537°
W133.220215°		 →
↑
1 881.67 m
↓
↑
1 881.67 m
↓
N 39.622615°
W133.242187°		 ← 1 881.91 m →
3 540 718 m²		 N 39.622615°
W133.220215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129913330078125 y=0.379913330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129913330078125 × 214)
    floor (0.129913330078125 × 16384)
    floor (2128.5)     		tx = 2128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379913330078125 × 214)
    floor (0.379913330078125 × 16384)
    floor (6224.5)     		ty = 6224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2128 / 6224 ti = "14/2128/6224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2128/6224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2128 ÷ 214
    2128 ÷ 16384     		x = 0.1298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6224 ÷ 214
    6224 ÷ 16384     		y = 0.3798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1298828125 × 2 - 1) × π
    -0.740234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32551487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3798828125 × 2 - 1) × π
    0.240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.754718547618164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32551487} λ = -2.32551487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.754718547618164))-π/2
    2×atan(2.12701278628637)-π/2
    2×1.13131838562223-π/2
    2.26263677124446-1.57079632675     		φ = 0.69184044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32551487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.242187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69184044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.639537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2128 KachelY 6224 -2.32551487 0.69184044 -133.242187 39.639537
    Oben rechts KachelX + 1 2129 KachelY 6224 -2.32513138 0.69184044 -133.220215 39.639537
    Unten links KachelX 2128 KachelY + 1 6225 -2.32551487 0.69154509 -133.242187 39.622615
    Unten rechts KachelX + 1 2129 KachelY + 1 6225 -2.32513138 0.69154509 -133.220215 39.622615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69184044-0.69154509) × R
    0.000295350000000028 × 6371000     		dl = 1881.67485000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69184044-0.69154509) × R
    0.000295350000000028 × 6371000     		dr = 1881.67485000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32551487--2.32513138) × cos(0.69184044) × R
    0.000383489999999931 × 0.770073200977456 × 6371000     		do = 1881.45423401042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32551487--2.32513138) × cos(0.69154509) × R
    0.000383489999999931 × 0.770261587554728 × 6371000     		du = 1881.91450288225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69184044)-sin(0.69154509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770073200977456-0.770261587554728)×R²
    abs(-2.32513138--2.32551487)×0.000188386577271271×R²
    0.000383489999999931×0.000188386577271271×6371000²
    0.000383489999999931×0.000188386577271271×40589641000000     		ar = 3540718.17748188m²