Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2129 / 1359
↖ ↑ ↗
← N 51.672555°
E  7.119140°		 ← 6 060.77 m → N 51.672555°
E  7.207031°		 →
↑
6 064.43 m
↓
↑
6 064.43 m
↓
N 51.618016°
E  7.119140°		 ← 6 068.06 m →
36 777 194 m²		 N 51.618016°
E  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5198974609375 y=0.3319091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5198974609375 × 212)
    floor (0.5198974609375 × 4096)
    floor (2129.5)     		tx = 2129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3319091796875 × 212)
    floor (0.3319091796875 × 4096)
    floor (1359.5)     		ty = 1359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2129 / 1359 ti = "12/2129/1359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2129/1359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2129 ÷ 212
    2129 ÷ 4096     		x = 0.519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1359 ÷ 212
    1359 ÷ 4096     		y = 0.331787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519775390625 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331787109375 × 2 - 1) × π
    0.33642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.056912762823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12425244} λ = 0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.056912762823))-π/2
    2×atan(2.87747381834829)-π/2
    2×1.23632627351702-π/2
    2.47265254703403-1.57079632675     		φ = 0.90185622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90185622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.672555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2129 KachelY 1359 0.12425244 0.90185622 7.119140 51.672555
    Oben rechts KachelX + 1 2130 KachelY 1359 0.12578642 0.90185622 7.207031 51.672555
    Unten links KachelX 2129 KachelY + 1 1360 0.12425244 0.90090434 7.119140 51.618016
    Unten rechts KachelX + 1 2130 KachelY + 1 1360 0.12578642 0.90090434 7.207031 51.618016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90185622-0.90090434) × R
    0.000951880000000016 × 6371000     		dl = 6064.4274800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90185622-0.90090434) × R
    0.000951880000000016 × 6371000     		dr = 6064.4274800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12425244-0.12578642) × cos(0.90185622) × R
    0.00153398 × 0.620154871134822 × 6371000     		do = 6060.76523312226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12425244-0.12578642) × cos(0.90090434) × R
    0.00153398 × 0.620901320323887 × 6371000     		du = 6068.06027102965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90185622)-sin(0.90090434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620154871134822-0.620901320323887)×R²
    abs(0.12578642-0.12425244)×0.000746449189064857×R²
    0.00153398×0.000746449189064857×6371000²
    0.00153398×0.000746449189064857×40589641000000     		ar = 36777194.1206641m²