Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2138 / 1386
↖ ↑ ↗
← N 50.176898°
E  7.910156°		 ← 6 258.81 m → N 50.176898°
E  7.998047°		 →
↑
6 262.50 m
↓
↑
6 262.50 m
↓
N 50.120578°
E  7.910156°		 ← 6 266.19 m →
39 218 908 m²		 N 50.120578°
E  7.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5220947265625 y=0.3385009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5220947265625 × 212)
    floor (0.5220947265625 × 4096)
    floor (2138.5)     		tx = 2138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3385009765625 × 212)
    floor (0.3385009765625 × 4096)
    floor (1386.5)     		ty = 1386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2138 / 1386 ti = "12/2138/1386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2138/1386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2138 ÷ 212
    2138 ÷ 4096     		x = 0.52197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1386 ÷ 212
    1386 ÷ 4096     		y = 0.33837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52197265625 × 2 - 1) × π
    0.0439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13805827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33837890625 × 2 - 1) × π
    0.3232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01549528155127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13805827} λ = 0.13805827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01549528155127))-π/2
    2×atan(2.76073039765732)-π/2
    2×1.22327420372149-π/2
    2.44654840744299-1.57079632675     		φ = 0.87575208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13805827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.910156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87575208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.176898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2138 KachelY 1386 0.13805827 0.87575208 7.910156 50.176898
    Oben rechts KachelX + 1 2139 KachelY 1386 0.13959225 0.87575208 7.998047 50.176898
    Unten links KachelX 2138 KachelY + 1 1387 0.13805827 0.87476911 7.910156 50.120578
    Unten rechts KachelX + 1 2139 KachelY + 1 1387 0.13959225 0.87476911 7.998047 50.120578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87575208-0.87476911) × R
    0.000982970000000027 × 6371000     		dl = 6262.50187000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87575208-0.87476911) × R
    0.000982970000000027 × 6371000     		dr = 6262.50187000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13805827-0.13959225) × cos(0.87575208) × R
    0.00153397999999999 × 0.640419422818882 × 6371000     		do = 6258.81042478024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13805827-0.13959225) × cos(0.87476911) × R
    0.00153397999999999 × 0.641174059195149 × 6371000     		du = 6266.18547595828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87575208)-sin(0.87476911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640419422818882-0.641174059195149)×R²
    abs(0.13959225-0.13805827)×0.000754636376266937×R²
    0.00153397999999999×0.000754636376266937×6371000²
    0.00153397999999999×0.000754636376266937×40589641000000     		ar = 39218908.2829317m²