Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2162 / 1394
↖ ↑ ↗
← N 49.724479°
E 10.019531°		 ← 6 317.88 m → N 49.724479°
E 10.107422°		 →
↑
6 321.56 m
↓
↑
6 321.56 m
↓
N 49.667628°
E 10.019531°		 ← 6 325.28 m →
39 962 260 m²		 N 49.667628°
E 10.107422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5279541015625 y=0.3404541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5279541015625 × 212)
    floor (0.5279541015625 × 4096)
    floor (2162.5)     		tx = 2162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3404541015625 × 212)
    floor (0.3404541015625 × 4096)
    floor (1394.5)     		ty = 1394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2162 / 1394 ti = "12/2162/1394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2162/1394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2162 ÷ 212
    2162 ÷ 4096     		x = 0.52783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1394 ÷ 212
    1394 ÷ 4096     		y = 0.34033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52783203125 × 2 - 1) × π
    0.0556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17487381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34033203125 × 2 - 1) × π
    0.3193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00322343524854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17487381} λ = 0.17487381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00322343524854))-π/2
    2×atan(2.72705817130756)-π/2
    2×1.2193261037294-π/2
    2.4386522074588-1.57079632675     		φ = 0.86785588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17487381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86785588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.724479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2162 KachelY 1394 0.17487381 0.86785588 10.019531 49.724479
    Oben rechts KachelX + 1 2163 KachelY 1394 0.17640779 0.86785588 10.107422 49.724479
    Unten links KachelX 2162 KachelY + 1 1395 0.17487381 0.86686364 10.019531 49.667628
    Unten rechts KachelX + 1 2163 KachelY + 1 1395 0.17640779 0.86686364 10.107422 49.667628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86785588-0.86686364) × R
    0.000992239999999978 × 6371000     		dl = 6321.56103999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86785588-0.86686364) × R
    0.000992239999999978 × 6371000     		dr = 6321.56103999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17487381-0.17640779) × cos(0.86785588) × R
    0.00153398000000002 × 0.646463876730745 × 6371000     		do = 6317.88279174442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17487381-0.17640779) × cos(0.86686364) × R
    0.00153398000000002 × 0.647220582517329 × 6371000     		du = 6325.27806724171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86785588)-sin(0.86686364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646463876730745-0.647220582517329)×R²
    abs(0.17640779-0.17487381)×0.000756705786583822×R²
    0.00153398000000002×0.000756705786583822×6371000²
    0.00153398000000002×0.000756705786583822×40589641000000     		ar = 39962259.8330154m²