Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2164 / 1396
↖ ↑ ↗
← N 49.610710°
E 10.195312°		 ← 6 332.68 m → N 49.610710°
E 10.283203°		 →
↑
6 336.34 m
↓
↑
6 336.34 m
↓
N 49.553726°
E 10.195312°		 ← 6 340.08 m →
40 149 446 m²		 N 49.553726°
E 10.283203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5284423828125 y=0.3409423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5284423828125 × 212)
    floor (0.5284423828125 × 4096)
    floor (2164.5)     		tx = 2164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3409423828125 × 212)
    floor (0.3409423828125 × 4096)
    floor (1396.5)     		ty = 1396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2164 / 1396 ti = "12/2164/1396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2164/1396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2164 ÷ 212
    2164 ÷ 4096     		x = 0.5283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1396 ÷ 212
    1396 ÷ 4096     		y = 0.3408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5283203125 × 2 - 1) × π
    0.056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17794177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3408203125 × 2 - 1) × π
    0.318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00015547367285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17794177} λ = 0.17794177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00015547367285))-π/2
    2×atan(2.7187044825737)-π/2
    2×1.21833327972382-π/2
    2.43666655944764-1.57079632675     		φ = 0.86587023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17794177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86587023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.610710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2164 KachelY 1396 0.17794177 0.86587023 10.195312 49.610710
    Oben rechts KachelX + 1 2165 KachelY 1396 0.17947575 0.86587023 10.283203 49.610710
    Unten links KachelX 2164 KachelY + 1 1397 0.17794177 0.86487567 10.195312 49.553726
    Unten rechts KachelX + 1 2165 KachelY + 1 1397 0.17947575 0.86487567 10.283203 49.553726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86587023-0.86487567) × R
    0.000994559999999978 × 6371000     		dl = 6336.34175999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86587023-0.86487567) × R
    0.000994559999999978 × 6371000     		dr = 6336.34175999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17794177-0.17947575) × cos(0.86587023) × R
    0.00153397999999999 × 0.647977542231262 × 6371000     		do = 6332.67582436746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17794177-0.17947575) × cos(0.86487567) × R
    0.00153397999999999 × 0.648734737647142 × 6371000     		du = 6340.0758850053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86587023)-sin(0.86487567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647977542231262-0.648734737647142)×R²
    abs(0.17947575-0.17794177)×0.000757195415880041×R²
    0.00153397999999999×0.000757195415880041×6371000²
    0.00153397999999999×0.000757195415880041×40589641000000     		ar = 40149446.244589m²