Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2179 / 1413
↖ ↑ ↗
← N 48.632909°
E 11.513672°		 ← 6 458.78 m → N 48.632909°
E 11.601562°		 →
↑
6 462.49 m
↓
↑
6 462.49 m
↓
N 48.574790°
E 11.513672°		 ← 6 466.22 m →
41 763 821 m²		 N 48.574790°
E 11.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5321044921875 y=0.3450927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5321044921875 × 212)
    floor (0.5321044921875 × 4096)
    floor (2179.5)     		tx = 2179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3450927734375 × 212)
    floor (0.3450927734375 × 4096)
    floor (1413.5)     		ty = 1413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2179 / 1413 ti = "12/2179/1413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2179/1413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2179 ÷ 212
    2179 ÷ 4096     		x = 0.531982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1413 ÷ 212
    1413 ÷ 4096     		y = 0.344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531982421875 × 2 - 1) × π
    0.06396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.20095148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344970703125 × 2 - 1) × π
    0.31005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.974077800279541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20095148} λ = 0.20095148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974077800279541))-π/2
    2×atan(2.64872343232094)-π/2
    2×1.20980035321089-π/2
    2.41960070642179-1.57079632675     		φ = 0.84880438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20095148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84880438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.632909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2179 KachelY 1413 0.20095148 0.84880438 11.513672 48.632909
    Oben rechts KachelX + 1 2180 KachelY 1413 0.20248546 0.84880438 11.601562 48.632909
    Unten links KachelX 2179 KachelY + 1 1414 0.20095148 0.84779002 11.513672 48.574790
    Unten rechts KachelX + 1 2180 KachelY + 1 1414 0.20248546 0.84779002 11.601562 48.574790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84880438-0.84779002) × R
    0.00101435999999999 × 6371000     		dl = 6462.48755999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84880438-0.84779002) × R
    0.00101435999999999 × 6371000     		dr = 6462.48755999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20095148-0.20248546) × cos(0.84880438) × R
    0.00153398000000002 × 0.6608809198237 × 6371000     		do = 6458.78036041515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20095148-0.20248546) × cos(0.84779002) × R
    0.00153398000000002 × 0.661641847521221 × 6371000     		du = 6466.21689659137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84880438)-sin(0.84779002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6608809198237-0.661641847521221)×R²
    abs(0.20248546-0.20095148)×0.000760927697521119×R²
    0.00153398000000002×0.000760927697521119×6371000²
    0.00153398000000002×0.000760927697521119×40589641000000     		ar = 41763820.5742144m²