Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2208 / 1311
↖ ↑ ↗
← N 54.213861°
E 14.062500°		 ← 5 714.87 m → N 54.213861°
E 14.150391°		 →
↑
5 718.42 m
↓
↑
5 718.42 m
↓
N 54.162434°
E 14.062500°		 ← 5 721.98 m →
32 700 335 m²		 N 54.162434°
E 14.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5391845703125 y=0.3201904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5391845703125 × 212)
    floor (0.5391845703125 × 4096)
    floor (2208.5)     		tx = 2208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3201904296875 × 212)
    floor (0.3201904296875 × 4096)
    floor (1311.5)     		ty = 1311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2208 / 1311 ti = "12/2208/1311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2208/1311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2208 ÷ 212
    2208 ÷ 4096     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1311 ÷ 212
    1311 ÷ 4096     		y = 0.320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320068359375 × 2 - 1) × π
    0.35986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1305438406394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1305438406394))-π/2
    2×atan(3.09734050180789)-π/2
    2×1.2585033507279-π/2
    2.5170067014558-1.57079632675     		φ = 0.94621037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94621037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.213861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2208 KachelY 1311 0.24543693 0.94621037 14.062500 54.213861
    Oben rechts KachelX + 1 2209 KachelY 1311 0.24697091 0.94621037 14.150391 54.213861
    Unten links KachelX 2208 KachelY + 1 1312 0.24543693 0.94531280 14.062500 54.162434
    Unten rechts KachelX + 1 2209 KachelY + 1 1312 0.24697091 0.94531280 14.150391 54.162434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94621037-0.94531280) × R
    0.000897570000000014 × 6371000     		dl = 5718.41847000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94621037-0.94531280) × R
    0.000897570000000014 × 6371000     		dr = 5718.41847000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24697091) × cos(0.94621037) × R
    0.00153397999999999 × 0.584761449028704 × 6371000     		do = 5714.86579385884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24697091) × cos(0.94531280) × R
    0.00153397999999999 × 0.585489326925804 × 6371000     		du = 5721.97933477908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94621037)-sin(0.94531280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584761449028704-0.585489326925804)×R²
    abs(0.24697091-0.24543693)×0.000727877897100493×R²
    0.00153397999999999×0.000727877897100493×6371000²
    0.00153397999999999×0.000727877897100493×40589641000000     		ar = 32700335.4064323m²