Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2210 / 1314
↖ ↑ ↗
← N 54.059388°
E 14.238281°		 ← 5 736.22 m → N 54.059388°
E 14.326172°		 →
↑
5 739.76 m
↓
↑
5 739.76 m
↓
N 54.007769°
E 14.238281°		 ← 5 743.35 m →
32 944 982 m²		 N 54.007769°
E 14.326172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5396728515625 y=0.3209228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5396728515625 × 212)
    floor (0.5396728515625 × 4096)
    floor (2210.5)     		tx = 2210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3209228515625 × 212)
    floor (0.3209228515625 × 4096)
    floor (1314.5)     		ty = 1314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2210 / 1314 ti = "12/2210/1314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2210/1314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2210 ÷ 212
    2210 ÷ 4096     		x = 0.53955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1314 ÷ 212
    1314 ÷ 4096     		y = 0.32080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53955078125 × 2 - 1) × π
    0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32080078125 × 2 - 1) × π
    0.3583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12594189827588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24850489} λ = 0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12594189827588))-π/2
    2×atan(3.08311946662807)-π/2
    2×1.25715531850516-π/2
    2.51431063701033-1.57079632675     		φ = 0.94351431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94351431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.059388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2210 KachelY 1314 0.24850489 0.94351431 14.238281 54.059388
    Oben rechts KachelX + 1 2211 KachelY 1314 0.25003887 0.94351431 14.326172 54.059388
    Unten links KachelX 2210 KachelY + 1 1315 0.24850489 0.94261339 14.238281 54.007769
    Unten rechts KachelX + 1 2211 KachelY + 1 1315 0.25003887 0.94261339 14.326172 54.007769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94351431-0.94261339) × R
    0.000900919999999972 × 6371000     		dl = 5739.76131999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94351431-0.94261339) × R
    0.000900919999999972 × 6371000     		dr = 5739.76131999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24850489-0.25003887) × cos(0.94351431) × R
    0.00153398000000002 × 0.586946379317181 × 6371000     		do = 5736.21908824647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24850489-0.25003887) × cos(0.94261339) × R
    0.00153398000000002 × 0.587675549101293 × 6371000     		du = 5743.34525476114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94351431)-sin(0.94261339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586946379317181-0.587675549101293)×R²
    abs(0.25003887-0.24850489)×0.000729169784111527×R²
    0.00153398000000002×0.000729169784111527×6371000²
    0.00153398000000002×0.000729169784111527×40589641000000     		ar = 32944981.9215548m²