Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 223 / 159
↖ ↑ ↗
← N 56.170023°
W 23.203125°		 ← 43.527 km → N 56.170023°
W 22.500000°		 →
↑
43.750 km
↓
↑
43.750 km
↓
N 55.776573°
W 23.203125°		 ← 43.972 km →
1 914.05 km²		 N 55.776573°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4365234375 y=0.3115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4365234375 × 29)
    floor (0.4365234375 × 512)
    floor (223.5)     		tx = 223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3115234375 × 29)
    floor (0.3115234375 × 512)
    floor (159.5)     		ty = 159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 223 / 159 ti = "9/223/159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/223/159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 223 ÷ 29
    223 ÷ 512     		x = 0.435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 159 ÷ 29
    159 ÷ 512     		y = 0.310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435546875 × 2 - 1) × π
    -0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310546875 × 2 - 1) × π
    0.37890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19036909136523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40497093} λ = -0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19036909136523))-π/2
    2×atan(3.2882946645981)-π/2
    2×1.2755740843745-π/2
    2.55114816874901-1.57079632675     		φ = 0.98035184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98035184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.170023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 223 KachelY 159 -0.40497093 0.98035184 -23.203125 56.170023
    Oben rechts KachelX + 1 224 KachelY 159 -0.39269908 0.98035184 -22.500000 56.170023
    Unten links KachelX 223 KachelY + 1 160 -0.40497093 0.97348484 -23.203125 55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 224 KachelY + 1 160 -0.39269908 0.97348484 -22.500000 55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98035184-0.97348484) × R
    0.00686699999999996 × 6371000     		dl = 43749.6569999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98035184-0.97348484) × R
    0.00686699999999996 × 6371000     		dr = 43749.6569999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40497093--0.39269908) × cos(0.98035184) × R
    0.01227185 × 0.556730310100116 × 6371000     		do = 43527.3782635895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40497093--0.39269908) × cos(0.97348484) × R
    0.01227185 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 43972.3387664835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98035184)-sin(0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556730310100116-0.562421509722991)×R²
    abs(-0.39269908--0.40497093)×0.00569119962287512×R²
    0.01227185×0.00569119962287512×6371000²
    0.01227185×0.00569119962287512×40589641000000     		ar = 1914048825.36159m²