Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2239 / 1471
N 45.151053°
E 16.787109°
← 6 892.30 m → N 45.151053°
E 16.875000°

6 896.03 m

6 896.03 m
N 45.089036°
E 16.787109°
← 6 899.80 m →
47 555 402 m²
N 45.089036°
E 16.875000°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5467529296875 y=0.3592529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5467529296875 × 212)
    floor (0.5467529296875 × 4096)
    floor (2239.5)
    tx = 2239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3592529296875 × 212)
    floor (0.3592529296875 × 4096)
    floor (1471.5)
    ty = 1471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2239 / 1471 ti = "12/2239/1471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2239/1471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2239 ÷ 212
    2239 ÷ 4096
    x = 0.546630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1471 ÷ 212
    1471 ÷ 4096
    y = 0.359130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.546630859375 × 2 - 1) × π
    0.09326171875 × 3.1415926535
    Λ = 0.29299033
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.359130859375 × 2 - 1) × π
    0.28173828125 × 3.1415926535
    Φ = 0.885106914584717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29299033} λ = 0.29299033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.885106914584717))-π/2
    2×atan(2.42324345770427)-π/2
    2×1.17941543350224-π/2
    2.35883086700447-1.57079632675
    φ = 0.78803454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29299033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.787109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78803454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.151053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2239 KachelY 1471 0.29299033 0.78803454 16.787109 45.151053
    Oben rechts KachelX + 1 2240 KachelY 1471 0.29452431 0.78803454 16.875000 45.151053
    Unten links KachelX 2239 KachelY + 1 1472 0.29299033 0.78695213 16.787109 45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 2240 KachelY + 1 1472 0.29452431 0.78695213 16.875000 45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.78803454-0.78695213) × R
    0.00108240999999998 × 6371000
    dl = 6896.03410999986m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.78803454-0.78695213) × R
    0.00108240999999998 × 6371000
    dr = 6896.03410999986m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.29299033-0.29452431) × cos(0.78803454) × R
    0.00153397999999999 × 0.705240126207726 × 6371000
    do = 6892.30228910557m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.29299033-0.29452431) × cos(0.78695213) × R
    0.00153397999999999 × 0.706007107541517 × 6371000
    du = 6899.79798738782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.78803454)-sin(0.78695213))×
    abs(λ12)×abs(0.705240126207726-0.706007107541517)×
    abs(0.29452431-0.29299033)×0.000766981333790717×
    0.00153397999999999×0.000766981333790717×6371000²
    0.00153397999999999×0.000766981333790717×40589641000000
    ar = 47555401.6206545m²