Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2240 / 1088
↖ ↑ ↗
← N 64.168107°
E 16.875000°		 ← 4 258.40 m → N 64.168107°
E 16.962891°		 →
↑
4 261.37 m
↓
↑
4 261.37 m
↓
N 64.129783°
E 16.875000°		 ← 4 264.29 m →
18 159 177 m²		 N 64.129783°
E 16.962891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5469970703125 y=0.2657470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5469970703125 × 212)
    floor (0.5469970703125 × 4096)
    floor (2240.5)     		tx = 2240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2657470703125 × 212)
    floor (0.2657470703125 × 4096)
    floor (1088.5)     		ty = 1088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2240 / 1088 ti = "12/2240/1088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2240/1088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2240 ÷ 212
    2240 ÷ 4096     		x = 0.546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1088 ÷ 212
    1088 ÷ 4096     		y = 0.265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546875 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265625 × 2 - 1) × π
    0.46875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29452431} λ = 0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47262155632813))-π/2
    2×atan(4.36065186422221)-π/2
    2×1.3453705334591-π/2
    2.69074106691819-1.57079632675     		φ = 1.11994474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11994474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.168107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2240 KachelY 1088 0.29452431 1.11994474 16.875000 64.168107
    Oben rechts KachelX + 1 2241 KachelY 1088 0.29605829 1.11994474 16.962891 64.168107
    Unten links KachelX 2240 KachelY + 1 1089 0.29452431 1.11927587 16.875000 64.129783
    Unten rechts KachelX + 1 2241 KachelY + 1 1089 0.29605829 1.11927587 16.962891 64.129783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11994474-1.11927587) × R
    0.000668869999999933 × 6371000     		dl = 4261.37076999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11994474-1.11927587) × R
    0.000668869999999933 × 6371000     		dr = 4261.37076999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29452431-0.29605829) × cos(1.11994474) × R
    0.00153397999999999 × 0.435732185161907 × 6371000     		do = 4258.40479806136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29452431-0.29605829) × cos(1.11927587) × R
    0.00153397999999999 × 0.436334121724797 × 6371000     		du = 4264.2875160125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11994474)-sin(1.11927587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435732185161907-0.436334121724797)×R²
    abs(0.29605829-0.29452431)×0.000601936562889871×R²
    0.00153397999999999×0.000601936562889871×6371000²
    0.00153397999999999×0.000601936562889871×40589641000000     		ar = 18159176.6314613m²