Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2244 / 1476
↖ ↑ ↗
← N 44.840291°
E 17.226562°		 ← 6 929.83 m → N 44.840291°
E 17.314453°		 →
↑
6 933.56 m
↓
↑
6 933.56 m
↓
N 44.777936°
E 17.226562°		 ← 6 937.32 m →
48 074 352 m²		 N 44.777936°
E 17.314453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5479736328125 y=0.3604736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5479736328125 × 212)
    floor (0.5479736328125 × 4096)
    floor (2244.5)     		tx = 2244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3604736328125 × 212)
    floor (0.3604736328125 × 4096)
    floor (1476.5)     		ty = 1476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2244 / 1476 ti = "12/2244/1476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2244/1476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2244 ÷ 212
    2244 ÷ 4096     		x = 0.5478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1476 ÷ 212
    1476 ÷ 4096     		y = 0.3603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5478515625 × 2 - 1) × π
    0.095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30066023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3603515625 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.877437010645508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30066023} λ = 0.30066023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877437010645508))-π/2
    2×atan(2.40472850787118)-π/2
    2×1.17670351809762-π/2
    2.35340703619524-1.57079632675     		φ = 0.78261071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30066023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.226562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78261071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.840291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2244 KachelY 1476 0.30066023 0.78261071 17.226562 44.840291
    Oben rechts KachelX + 1 2245 KachelY 1476 0.30219422 0.78261071 17.314453 44.840291
    Unten links KachelX 2244 KachelY + 1 1477 0.30066023 0.78152241 17.226562 44.777936
    Unten rechts KachelX + 1 2245 KachelY + 1 1477 0.30219422 0.78152241 17.314453 44.777936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78261071-0.78152241) × R
    0.00108830000000004 × 6371000     		dl = 6933.55930000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78261071-0.78152241) × R
    0.00108830000000004 × 6371000     		dr = 6933.55930000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30066023-0.30219422) × cos(0.78261071) × R
    0.00153399000000004 × 0.709075058762226 × 6371000     		do = 6929.82620866813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30066023-0.30219422) × cos(0.78152241) × R
    0.00153399000000004 × 0.709842034951841 × 6371000     		du = 6937.32190554046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78261071)-sin(0.78152241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709075058762226-0.709842034951841)×R²
    abs(0.30219422-0.30066023)×0.000766976189614632×R²
    0.00153399000000004×0.000766976189614632×6371000²
    0.00153399000000004×0.000766976189614632×40589641000000     		ar = 48074351.6307996m²