Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 225 / 160
↖ ↑ ↗
← S 40.979898°
E136.406250°		 ← 118.048 km → S 40.979898°
E137.812500°		 →
↑
117.097 km
↓
↑
117.097 km
↓
S 42.032975°
E136.406250°		 ← 116.144 km →
13 712 km²		 S 42.032975°
E137.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.880859375 y=0.626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.880859375 × 28)
    floor (0.880859375 × 256)
    floor (225.5)     		tx = 225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626953125 × 28)
    floor (0.626953125 × 256)
    floor (160.5)     		ty = 160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 225 / 160 ti = "8/225/160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/225/160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 225 ÷ 28
    225 ÷ 256     		x = 0.87890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 160 ÷ 28
    160 ÷ 256     		y = 0.625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87890625 × 2 - 1) × π
    0.7578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.38073818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Φ = -0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38073818} λ = 2.38073818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.785398163375))-π/2
    2×atan(0.455938127776231)-π/2
    2×0.427781089182652-π/2
    0.855562178365304-1.57079632675     		φ = -0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38073818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 225 KachelY 160 2.38073818 -0.71523415 136.406250 -40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 226 KachelY 160 2.40528188 -0.71523415 137.812500 -40.979898
    Unten links KachelX 225 KachelY + 1 161 2.38073818 -0.73361380 136.406250 -42.032975
    Unten rechts KachelX + 1 226 KachelY + 1 161 2.40528188 -0.73361380 137.812500 -42.032975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71523415--0.73361380) × R
    0.01837965 × 6371000     		dl = 117096.75015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71523415--0.73361380) × R
    0.01837965 × 6371000     		dr = 117096.75015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38073818-2.40528188) × cos(-0.71523415) × R
    0.0245437000000002 × 0.754939707695381 × 6371000     		do = 118048.346306676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38073818-2.40528188) × cos(-0.73361380) × R
    0.0245437000000002 × 0.74275960828728 × 6371000     		du = 116143.769585752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71523415)-sin(-0.73361380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754939707695381-0.74275960828728)×R²
    abs(2.40528188-2.38073818)×0.0121800994081006×R²
    0.0245437000000002×0.0121800994081006×6371000²
    0.0245437000000002×0.0121800994081006×40589641000000     		ar = 13711953847.7314m²