Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22532 / 2052
↖ ↑ ↗
← N 82.670681°
E 67.543946°		 ← 155.84 m → N 82.670681°
E 67.554931°		 →
↑
155.90 m
↓
↑
155.90 m
↓
N 82.669279°
E 67.543946°		 ← 155.87 m →
24 297 m²		 N 82.669279°
E 67.554931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687637329101562 y=0.0626373291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687637329101562 × 215)
    floor (0.687637329101562 × 32768)
    floor (22532.5)     		tx = 22532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0626373291015625 × 215)
    floor (0.0626373291015625 × 32768)
    floor (2052.5)     		ty = 2052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22532 / 2052 ti = "15/22532/2052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22532/2052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22532 ÷ 215
    22532 ÷ 32768     		x = 0.6876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2052 ÷ 215
    2052 ÷ 32768     		y = 0.0626220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6876220703125 × 2 - 1) × π
    0.375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17886424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0626220703125 × 2 - 1) × π
    0.874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.74812658141858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17886424} λ = 1.17886424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74812658141858))-π/2
    2×atan(15.6133541202705)-π/2
    2×1.50683595178083-π/2
    3.01367190356167-1.57079632675     		φ = 1.44287558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17886424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.543946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44287558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.670681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22532 KachelY 2052 1.17886424 1.44287558 67.543946 82.670681
    Oben rechts KachelX + 1 22533 KachelY 2052 1.17905598 1.44287558 67.554931 82.670681
    Unten links KachelX 22532 KachelY + 1 2053 1.17886424 1.44285111 67.543946 82.669279
    Unten rechts KachelX + 1 22533 KachelY + 1 2053 1.17905598 1.44285111 67.554931 82.669279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44287558-1.44285111) × R
    2.44699999998321e-05 × 6371000     		dl = 155.89836999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44287558-1.44285111) × R
    2.44699999998321e-05 × 6371000     		dr = 155.89836999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17886424-1.17905598) × cos(1.44287558) × R
    0.000191739999999996 × 0.127572155636544 × 6371000     		do = 155.839024910672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17886424-1.17905598) × cos(1.44285111) × R
    0.000191739999999996 × 0.127596425661131 × 6371000     		du = 155.868672579062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44287558)-sin(1.44285111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127572155636544-0.127596425661131)×R²
    abs(1.17905598-1.17886424)×2.42700245866312e-05×R²
    0.000191739999999996×2.42700245866312e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.42700245866312e-05×40589641000000     		ar = 24297.3609779248m²