Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2306 / 1286
↖ ↑ ↗
← N 55.478854°
E 22.675781°		 ← 5 538.45 m → N 55.478854°
E 22.763672°		 →
↑
5 541.94 m
↓
↑
5 541.94 m
↓
N 55.429014°
E 22.675781°		 ← 5 545.45 m →
30 713 188 m²		 N 55.429014°
E 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5631103515625 y=0.3140869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5631103515625 × 212)
    floor (0.5631103515625 × 4096)
    floor (2306.5)     		tx = 2306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3140869140625 × 212)
    floor (0.3140869140625 × 4096)
    floor (1286.5)     		ty = 1286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2306 / 1286 ti = "12/2306/1286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2306/1286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2306 ÷ 212
    2306 ÷ 4096     		x = 0.56298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1286 ÷ 212
    1286 ÷ 4096     		y = 0.31396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31396484375 × 2 - 1) × π
    0.3720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16889336033545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39576704} λ = 0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16889336033545))-π/2
    2×atan(3.21842902585706)-π/2
    2×1.26954249247109-π/2
    2.53908498494219-1.57079632675     		φ = 0.96828866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96828866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.478854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2306 KachelY 1286 0.39576704 0.96828866 22.675781 55.478854
    Oben rechts KachelX + 1 2307 KachelY 1286 0.39730102 0.96828866 22.763672 55.478854
    Unten links KachelX 2306 KachelY + 1 1287 0.39576704 0.96741879 22.675781 55.429014
    Unten rechts KachelX + 1 2307 KachelY + 1 1287 0.39730102 0.96741879 22.763672 55.429014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96828866-0.96741879) × R
    0.00086987000000005 × 6371000     		dl = 5541.94177000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96828866-0.96741879) × R
    0.00086987000000005 × 6371000     		dr = 5541.94177000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39576704-0.39730102) × cos(0.96828866) × R
    0.00153397999999999 × 0.566710362596155 × 6371000     		do = 5538.45276839913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39576704-0.39730102) × cos(0.96741879) × R
    0.00153397999999999 × 0.567426848854107 × 6371000     		du = 5545.45497898284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96828866)-sin(0.96741879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566710362596155-0.567426848854107)×R²
    abs(0.39730102-0.39576704)×0.000716486257951843×R²
    0.00153397999999999×0.000716486257951843×6371000²
    0.00153397999999999×0.000716486257951843×40589641000000     		ar = 30713187.5966804m²