Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2312 / 776
↖ ↑ ↗
← N 73.824820°
E 23.203125°		 ← 2 722.51 m → N 73.824820°
E 23.291016°		 →
↑
2 724.49 m
↓
↑
2 724.49 m
↓
N 73.800318°
E 23.203125°		 ← 2 726.52 m →
7 422 933 m²		 N 73.800318°
E 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5645751953125 y=0.1895751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5645751953125 × 212)
    floor (0.5645751953125 × 4096)
    floor (2312.5)     		tx = 2312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1895751953125 × 212)
    floor (0.1895751953125 × 4096)
    floor (776.5)     		ty = 776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2312 / 776 ti = "12/2312/776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2312/776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2312 ÷ 212
    2312 ÷ 4096     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 776 ÷ 212
    776 ÷ 4096     		y = 0.189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.189453125 × 2 - 1) × π
    0.62109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.95122356213477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95122356213477))-π/2
    2×atan(7.03729288005571)-π/2
    2×1.4296412557564-π/2
    2.85928251151279-1.57079632675     		φ = 1.28848618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28848618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.824820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2312 KachelY 776 0.40497093 1.28848618 23.203125 73.824820
    Oben rechts KachelX + 1 2313 KachelY 776 0.40650491 1.28848618 23.291016 73.824820
    Unten links KachelX 2312 KachelY + 1 777 0.40497093 1.28805854 23.203125 73.800318
    Unten rechts KachelX + 1 2313 KachelY + 1 777 0.40650491 1.28805854 23.291016 73.800318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28848618-1.28805854) × R
    0.000427640000000062 × 6371000     		dl = 2724.4944400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28848618-1.28805854) × R
    0.000427640000000062 × 6371000     		dr = 2724.4944400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40650491) × cos(1.28848618) × R
    0.00153397999999999 × 0.278575088305804 × 6371000     		do = 2722.51059953492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40650491) × cos(1.28805854) × R
    0.00153397999999999 × 0.278985774457321 × 6371000     		du = 2726.52422978229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28848618)-sin(1.28805854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.278575088305804-0.278985774457321)×R²
    abs(0.40650491-0.40497093)×0.000410686151516571×R²
    0.00153397999999999×0.000410686151516571×6371000²
    0.00153397999999999×0.000410686151516571×40589641000000     		ar = 7422932.66104253m²