Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23680 / 44160
↖ ↑ ↗
← S 52.908902°
W 49.921875°		 ← 368.39 m → S 52.908902°
W 49.916382°		 →
↑
368.37 m
↓
↑
368.37 m
↓
S 52.912215°
W 49.921875°		 ← 368.37 m →
135 701 m²		 S 52.912215°
W 49.916382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361335754394531 y=0.673835754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361335754394531 × 216)
    floor (0.361335754394531 × 65536)
    floor (23680.5)     		tx = 23680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673835754394531 × 216)
    floor (0.673835754394531 × 65536)
    floor (44160.5)     		ty = 44160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23680 / 44160 ti = "16/23680/44160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23680/44160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23680 ÷ 216
    23680 ÷ 65536     		x = 0.361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44160 ÷ 216
    44160 ÷ 65536     		y = 0.673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361328125 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673828125 × 2 - 1) × π
    -0.34765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09219432094336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87130109} λ = -0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09219432094336))-π/2
    2×atan(0.335479535670024)-π/2
    2×0.323680891232481-π/2
    0.647361782464962-1.57079632675     		φ = -0.92343454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92343454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.908902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23680 KachelY 44160 -0.87130109 -0.92343454 -49.921875 -52.908902
    Oben rechts KachelX + 1 23681 KachelY 44160 -0.87120521 -0.92343454 -49.916382 -52.908902
    Unten links KachelX 23680 KachelY + 1 44161 -0.87130109 -0.92349236 -49.921875 -52.912215
    Unten rechts KachelX + 1 23681 KachelY + 1 44161 -0.87120521 -0.92349236 -49.916382 -52.912215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92343454--0.92349236) × R
    5.78199999999862e-05 × 6371000     		dl = 368.371219999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92343454--0.92349236) × R
    5.78199999999862e-05 × 6371000     		dr = 368.371219999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87130109--0.87120521) × cos(-0.92343454) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.603084063284091 × 6371000     		do = 368.394792621685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87130109--0.87120521) × cos(-0.92349236) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.603037940555043 × 6371000     		du = 368.366618484385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92343454)-sin(-0.92349236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603084063284091-0.603037940555043)×R²
    abs(-0.87120521--0.87130109)×4.6122729048137e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.6122729048137e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.6122729048137e-05×40589641000000     		ar = 135700.849967132m²