Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 239 / 175
↖ ↑ ↗
← S 54.977613°
E156.093750°		 ← 89.739 km → S 54.977613°
E157.500000°		 →
↑
88.840 km
↓
↑
88.840 km
↓
S 55.776573°
E156.093750°		 ← 87.945 km →
7 892.85 km²		 S 55.776573°
E157.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935546875 y=0.685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935546875 × 28)
    floor (0.935546875 × 256)
    floor (239.5)     		tx = 239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685546875 × 28)
    floor (0.685546875 × 256)
    floor (175.5)     		ty = 175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 239 / 175 ti = "8/239/175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/239/175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 239 ÷ 28
    239 ÷ 256     		x = 0.93359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 175 ÷ 28
    175 ÷ 256     		y = 0.68359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93359375 × 2 - 1) × π
    0.8671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.72434988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68359375 × 2 - 1) × π
    -0.3671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15355355245703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72434988} λ = 2.72434988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15355355245703))-π/2
    2×atan(0.315513580845869)-π/2
    2×0.305627976685362-π/2
    0.611255953370723-1.57079632675     		φ = -0.95954037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72434988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95954037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.977613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 239 KachelY 175 2.72434988 -0.95954037 156.093750 -54.977613
    Oben rechts KachelX + 1 240 KachelY 175 2.74889357 -0.95954037 157.500000 -54.977613
    Unten links KachelX 239 KachelY + 1 176 2.72434988 -0.97348484 156.093750 -55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 240 KachelY + 1 176 2.74889357 -0.97348484 157.500000 -55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95954037--0.97348484) × R
    0.01394447 × 6371000     		dl = 88840.2183699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95954037--0.97348484) × R
    0.01394447 × 6371000     		dr = 88840.2183699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72434988-2.74889357) × cos(-0.95954037) × R
    0.0245436899999998 × 0.573896450498898 × 6371000     		do = 89738.9535075079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72434988-2.74889357) × cos(-0.97348484) × R
    0.0245436899999998 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 87944.6417010917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95954037)-sin(-0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573896450498898-0.562421509722991)×R²
    abs(2.74889357-2.72434988)×0.0114749407759067×R²
    0.0245436899999998×0.0114749407759067×6371000²
    0.0245436899999998×0.0114749407759067×40589641000000     		ar = 7892852595.90742m²