Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 240 / 144
↖ ↑ ↗
← N 61.606397°
W 11.250000°		 ← 37.179 km → N 61.606397°
W 10.546875°		 →
↑
37.380 km
↓
↑
37.380 km
↓
N 61.270233°
W 11.250000°		 ← 37.581 km →
1 397.25 km²		 N 61.270233°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4697265625 y=0.2822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4697265625 × 29)
    floor (0.4697265625 × 512)
    floor (240.5)     		tx = 240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2822265625 × 29)
    floor (0.2822265625 × 512)
    floor (144.5)     		ty = 144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 240 / 144 ti = "9/240/144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/240/144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 240 ÷ 29
    240 ÷ 512     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 144 ÷ 29
    144 ÷ 512     		y = 0.28125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28125 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37444678590625))-π/2
    2×atan(3.95288932384138)-π/2
    2×1.3230153918728-π/2
    2.64603078374559-1.57079632675     		φ = 1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 240 KachelY 144 -0.19634954 1.07523446 -11.250000 61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 241 KachelY 144 -0.18407769 1.07523446 -10.546875 61.606397
    Unten links KachelX 240 KachelY + 1 145 -0.19634954 1.06936730 -11.250000 61.270233
    Unten rechts KachelX + 1 241 KachelY + 1 145 -0.18407769 1.06936730 -10.546875 61.270233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07523446-1.06936730) × R
    0.00586715999999998 × 6371000     		dl = 37379.6763599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07523446-1.06936730) × R
    0.00586715999999998 × 6371000     		dr = 37379.6763599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.18407769) × cos(1.07523446) × R
    0.01227185 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 37178.5041415288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.18407769) × cos(1.06936730) × R
    0.01227185 × 0.480679137651468 × 6371000     		du = 37581.3967164981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07523446)-sin(1.06936730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.480679137651468)×R²
    abs(-0.18407769--0.19634954)×0.00515313619031632×R²
    0.01227185×0.00515313619031632×6371000²
    0.01227185×0.00515313619031632×40589641000000     		ar = 1397254457.59849m²