Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2432 / 1153
↖ ↑ ↗
← N 61.564574°
E 33.750000°		 ← 4 653.58 m → N 61.564574°
E 33.837890°		 →
↑
4 656.76 m
↓
↑
4 656.76 m
↓
N 61.522695°
E 33.750000°		 ← 4 659.86 m →
21 685 222 m²		 N 61.522695°
E 33.837890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5938720703125 y=0.2816162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5938720703125 × 212)
    floor (0.5938720703125 × 4096)
    floor (2432.5)     		tx = 2432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2816162109375 × 212)
    floor (0.2816162109375 × 4096)
    floor (1153.5)     		ty = 1153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2432 / 1153 ti = "12/2432/1153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2432/1153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2432 ÷ 212
    2432 ÷ 4096     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1153 ÷ 212
    1153 ÷ 4096     		y = 0.281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281494140625 × 2 - 1) × π
    0.43701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.37291280511841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37291280511841))-π/2
    2×atan(3.94683031595111)-π/2
    2×1.32265042182974-π/2
    2.64530084365948-1.57079632675     		φ = 1.07450452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07450452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.564574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2432 KachelY 1153 0.58904862 1.07450452 33.750000 61.564574
    Oben rechts KachelX + 1 2433 KachelY 1153 0.59058260 1.07450452 33.837890 61.564574
    Unten links KachelX 2432 KachelY + 1 1154 0.58904862 1.07377359 33.750000 61.522695
    Unten rechts KachelX + 1 2433 KachelY + 1 1154 0.59058260 1.07377359 33.837890 61.522695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07450452-1.07377359) × R
    0.000730930000000019 × 6371000     		dl = 4656.75503000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07450452-1.07377359) × R
    0.000730930000000019 × 6371000     		dr = 4656.75503000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.59058260) × cos(1.07450452) × R
    0.00153397999999993 × 0.476168004155459 × 6371000     		do = 4653.58351443649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.59058260) × cos(1.07377359) × R
    0.00153397999999993 × 0.476810623357779 × 6371000     		du = 4659.86382327681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07450452)-sin(1.07377359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476168004155459-0.476810623357779)×R²
    abs(0.59058260-0.58904862)×0.000642619202319228×R²
    0.00153397999999993×0.000642619202319228×6371000²
    0.00153397999999993×0.000642619202319228×40589641000000     		ar = 21685222.3337274m²