Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24456 / 41352
↖ ↑ ↗
← S 42.585445°
W 45.659180°		 ← 449.70 m → S 42.585445°
W 45.653687°		 →
↑
449.67 m
↓
↑
449.67 m
↓
S 42.589488°
W 45.659180°		 ← 449.67 m →
202 210 m²		 S 42.589488°
W 45.653687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373176574707031 y=0.630989074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373176574707031 × 216)
    floor (0.373176574707031 × 65536)
    floor (24456.5)     		tx = 24456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630989074707031 × 216)
    floor (0.630989074707031 × 65536)
    floor (41352.5)     		ty = 41352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24456 / 41352 ti = "16/24456/41352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24456/41352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24456 ÷ 216
    24456 ÷ 65536     		x = 0.3731689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41352 ÷ 216
    41352 ÷ 65536     		y = 0.6309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3731689453125 × 2 - 1) × π
    -0.253662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79690302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6309814453125 × 2 - 1) × π
    -0.261962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.822980692677124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79690302} λ = -0.79690302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822980692677124))-π/2
    2×atan(0.439120817670032)-π/2
    2×0.413770055548169-π/2
    0.827540111096337-1.57079632675     		φ = -0.74325622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79690302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74325622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.585445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24456 KachelY 41352 -0.79690302 -0.74325622 -45.659180 -42.585445
    Oben rechts KachelX + 1 24457 KachelY 41352 -0.79680715 -0.74325622 -45.653687 -42.585445
    Unten links KachelX 24456 KachelY + 1 41353 -0.79690302 -0.74332680 -45.659180 -42.589488
    Unten rechts KachelX + 1 24457 KachelY + 1 41353 -0.79680715 -0.74332680 -45.653687 -42.589488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74325622--0.74332680) × R
    7.05799999999313e-05 × 6371000     		dl = 449.665179999562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74325622--0.74332680) × R
    7.05799999999313e-05 × 6371000     		dr = 449.665179999562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79690302--0.79680715) × cos(-0.74325622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.736269017849973 × 6371000     		do = 449.704111532665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79690302--0.79680715) × cos(-0.74332680) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.736221255310134 × 6371000     		du = 449.674938757468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74325622)-sin(-0.74332680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736269017849973-0.736221255310134)×R²
    abs(-0.79680715--0.79690302)×4.77625398382919e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77625398382919e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77625398382919e-05×40589641000000     		ar = 202209.721352226m²