Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24720 / 41105
↖ ↑ ↗
← S 41.578471°
W 44.208985°		 ← 456.95 m → S 41.578471°
W 44.203491°		 →
↑
456.93 m
↓
↑
456.93 m
↓
S 41.582580°
W 44.208985°		 ← 456.92 m →
208 785 m²		 S 41.582580°
W 44.203491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377204895019531 y=0.627220153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377204895019531 × 216)
    floor (0.377204895019531 × 65536)
    floor (24720.5)     		tx = 24720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627220153808594 × 216)
    floor (0.627220153808594 × 65536)
    floor (41105.5)     		ty = 41105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24720 / 41105 ti = "16/24720/41105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24720/41105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24720 ÷ 216
    24720 ÷ 65536     		x = 0.377197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41105 ÷ 216
    41105 ÷ 65536     		y = 0.627212524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377197265625 × 2 - 1) × π
    -0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627212524414062 × 2 - 1) × π
    -0.254425048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.799299864264816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77159234} λ = -0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799299864264816))-π/2
    2×atan(0.449643665535852)-π/2
    2×0.422557558584997-π/2
    0.845115117169995-1.57079632675     		φ = -0.72568121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72568121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.578471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24720 KachelY 41105 -0.77159234 -0.72568121 -44.208985 -41.578471
    Oben rechts KachelX + 1 24721 KachelY 41105 -0.77149646 -0.72568121 -44.203491 -41.578471
    Unten links KachelX 24720 KachelY + 1 41106 -0.77159234 -0.72575293 -44.208985 -41.582580
    Unten rechts KachelX + 1 24721 KachelY + 1 41106 -0.77149646 -0.72575293 -44.203491 -41.582580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72568121--0.72575293) × R
    7.17199999999973e-05 × 6371000     		dl = 456.928119999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72568121--0.72575293) × R
    7.17199999999973e-05 × 6371000     		dr = 456.928119999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77159234--0.77149646) × cos(-0.72568121) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.748047513836733 × 6371000     		do = 456.945930937189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77159234--0.77149646) × cos(-0.72575293) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.747999915281003 × 6371000     		du = 456.916855288976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72568121)-sin(-0.72575293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748047513836733-0.747999915281003)×R²
    abs(-0.77149646--0.77159234)×4.75985557299996e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.75985557299996e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.75985557299996e-05×40589641000000     		ar = 208784.802513395m²