Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24721 / 41103
↖ ↑ ↗
← S 41.570252°
W 44.203491°		 ← 456.96 m → S 41.570252°
W 44.197998°		 →
↑
456.99 m
↓
↑
456.99 m
↓
S 41.574361°
W 44.203491°		 ← 456.93 m →
208 819 m²		 S 41.574361°
W 44.197998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377220153808594 y=0.627189636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377220153808594 × 216)
    floor (0.377220153808594 × 65536)
    floor (24721.5)     		tx = 24721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627189636230469 × 216)
    floor (0.627189636230469 × 65536)
    floor (41103.5)     		ty = 41103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24721 / 41103 ti = "16/24721/41103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24721/41103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24721 ÷ 216
    24721 ÷ 65536     		x = 0.377212524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41103 ÷ 216
    41103 ÷ 65536     		y = 0.627182006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377212524414062 × 2 - 1) × π
    -0.245574951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77149646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627182006835938 × 2 - 1) × π
    -0.254364013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.799108116666336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77149646} λ = -0.77149646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799108116666336))-π/2
    2×atan(0.449729891895475)-π/2
    2×0.422629281305285-π/2
    0.84525856261057-1.57079632675     		φ = -0.72553776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77149646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.203491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72553776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.570252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24721 KachelY 41103 -0.77149646 -0.72553776 -44.203491 -41.570252
    Oben rechts KachelX + 1 24722 KachelY 41103 -0.77140059 -0.72553776 -44.197998 -41.570252
    Unten links KachelX 24721 KachelY + 1 41104 -0.77149646 -0.72560949 -44.203491 -41.574361
    Unten rechts KachelX + 1 24722 KachelY + 1 41104 -0.77140059 -0.72560949 -44.197998 -41.574361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72553776--0.72560949) × R
    7.17299999999366e-05 × 6371000     		dl = 456.991829999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72553776--0.72560949) × R
    7.17299999999366e-05 × 6371000     		dr = 456.991829999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77149646--0.77140059) × cos(-0.72553776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.74814270604 × 6371000     		do = 456.956415063927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77149646--0.77140059) × cos(-0.72560949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748095108544688 × 6371000     		du = 456.927343095908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72553776)-sin(-0.72560949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74814270604-0.748095108544688)×R²
    abs(-0.77140059--0.77149646)×4.7597495312468e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7597495312468e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7597495312468e-05×40589641000000     		ar = 208818.705613976m²