Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24828 / 41212
↖ ↑ ↗
← S 42.016652°
W 43.615723°		 ← 453.83 m → S 42.016652°
W 43.610229°		 →
↑
453.74 m
↓
↑
453.74 m
↓
S 42.020733°
W 43.615723°		 ← 453.80 m →
205 916 m²		 S 42.020733°
W 43.610229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378852844238281 y=0.628852844238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378852844238281 × 216)
    floor (0.378852844238281 × 65536)
    floor (24828.5)     		tx = 24828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628852844238281 × 216)
    floor (0.628852844238281 × 65536)
    floor (41212.5)     		ty = 41212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24828 / 41212 ti = "16/24828/41212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24828/41212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24828 ÷ 216
    24828 ÷ 65536     		x = 0.37884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41212 ÷ 216
    41212 ÷ 65536     		y = 0.62884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.2423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76123797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.2576904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.809558360783508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76123797} λ = -0.76123797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809558360783508))-π/2
    2×atan(0.44505457638086)-π/2
    2×0.418733705808651-π/2
    0.837467411617303-1.57079632675     		φ = -0.73332892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76123797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73332892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.016652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24828 KachelY 41212 -0.76123797 -0.73332892 -43.615723 -42.016652
    Oben rechts KachelX + 1 24829 KachelY 41212 -0.76114209 -0.73332892 -43.610229 -42.016652
    Unten links KachelX 24828 KachelY + 1 41213 -0.76123797 -0.73340014 -43.615723 -42.020733
    Unten rechts KachelX + 1 24829 KachelY + 1 41213 -0.76114209 -0.73340014 -43.610229 -42.020733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73332892--0.73340014) × R
    7.12199999999275e-05 × 6371000     		dl = 453.742619999538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73332892--0.73340014) × R
    7.12199999999275e-05 × 6371000     		dr = 453.742619999538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76123797--0.76114209) × cos(-0.73332892) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.74295032188077 × 6371000     		do = 453.832303687573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76123797--0.76114209) × cos(-0.73340014) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.742902649134481 × 6371000     		du = 453.803182719946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73332892)-sin(-0.73340014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74295032188077-0.742902649134481)×R²
    abs(-0.76114209--0.76123797)×4.76727462894733e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76727462894733e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76727462894733e-05×40589641000000     		ar = 205916.451890583m²