Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24865 / 41249
↖ ↑ ↗
← S 42.167475°
W 43.412476°		 ← 452.75 m → S 42.167475°
W 43.406982°		 →
↑
452.66 m
↓
↑
452.66 m
↓
S 42.171546°
W 43.412476°		 ← 452.73 m →
204 937 m²		 S 42.171546°
W 43.406982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379417419433594 y=0.629417419433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379417419433594 × 216)
    floor (0.379417419433594 × 65536)
    floor (24865.5)     		tx = 24865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629417419433594 × 216)
    floor (0.629417419433594 × 65536)
    floor (41249.5)     		ty = 41249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24865 / 41249 ti = "16/24865/41249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24865/41249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24865 ÷ 216
    24865 ÷ 65536     		x = 0.379409790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41249 ÷ 216
    41249 ÷ 65536     		y = 0.629409790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379409790039062 × 2 - 1) × π
    -0.241180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75769064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629409790039062 × 2 - 1) × π
    -0.258819580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.813105691355392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75769064} λ = -0.75769064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813105691355392))-π/2
    2×atan(0.443478617551971)-π/2
    2×0.417417525314147-π/2
    0.834835050628293-1.57079632675     		φ = -0.73596128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75769064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.412476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73596128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.167475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24865 KachelY 41249 -0.75769064 -0.73596128 -43.412476 -42.167475
    Oben rechts KachelX + 1 24866 KachelY 41249 -0.75759476 -0.73596128 -43.406982 -42.167475
    Unten links KachelX 24865 KachelY + 1 41250 -0.75769064 -0.73603233 -43.412476 -42.171546
    Unten rechts KachelX + 1 24866 KachelY + 1 41250 -0.75759476 -0.73603233 -43.406982 -42.171546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73596128--0.73603233) × R
    7.10499999999614e-05 × 6371000     		dl = 452.659549999754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73596128--0.73603233) × R
    7.10499999999614e-05 × 6371000     		dr = 452.659549999754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75769064--0.75759476) × cos(-0.73596128) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.741185788732881 × 6371000     		do = 452.754436002151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75769064--0.75759476) × cos(-0.73603233) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.741138091000486 × 6371000     		du = 452.725299771725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73596128)-sin(-0.73603233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741185788732881-0.741138091000486)×R²
    abs(-0.75759476--0.75769064)×4.76977323945471e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76977323945471e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76977323945471e-05×40589641000000     		ar = 204937.024950872m²