Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24992 / 41376
↖ ↑ ↗
← S 42.682435°
W 42.714844°		 ← 449 m → S 42.682435°
W 42.709351°		 →
↑
449.03 m
↓
↑
449.03 m
↓
S 42.686474°
W 42.714844°		 ← 448.97 m →
201 609 m²		 S 42.686474°
W 42.709351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381355285644531 y=0.631355285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381355285644531 × 216)
    floor (0.381355285644531 × 65536)
    floor (24992.5)     		tx = 24992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631355285644531 × 216)
    floor (0.631355285644531 × 65536)
    floor (41376.5)     		ty = 41376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24992 / 41376 ti = "16/24992/41376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24992/41376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24992 ÷ 216
    24992 ÷ 65536     		x = 0.38134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41376 ÷ 216
    41376 ÷ 65536     		y = 0.63134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74551466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.825281663858887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74551466} λ = -0.74551466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825281663858887))-π/2
    2×atan(0.438111574887824)-π/2
    2×0.41292364817031-π/2
    0.82584729634062-1.57079632675     		φ = -0.74494903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74551466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74494903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.682435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24992 KachelY 41376 -0.74551466 -0.74494903 -42.714844 -42.682435
    Oben rechts KachelX + 1 24993 KachelY 41376 -0.74541879 -0.74494903 -42.709351 -42.682435
    Unten links KachelX 24992 KachelY + 1 41377 -0.74551466 -0.74501951 -42.714844 -42.686474
    Unten rechts KachelX + 1 24993 KachelY + 1 41377 -0.74541879 -0.74501951 -42.709351 -42.686474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74494903--0.74501951) × R
    7.04799999999839e-05 × 6371000     		dl = 449.028079999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74494903--0.74501951) × R
    7.04799999999839e-05 × 6371000     		dr = 449.028079999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74551466--0.74541879) × cos(-0.74494903) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.735122457649648 × 6371000     		do = 449.003806584738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74551466--0.74541879) × cos(-0.74501951) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.735074675011418 × 6371000     		du = 448.974621533689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74494903)-sin(-0.74501951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735122457649648-0.735074675011418)×R²
    abs(-0.74541879--0.74551466)×4.77826382296875e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77826382296875e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77826382296875e-05×40589641000000     		ar = 201608.764813453m²