Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25096 / 41464
↖ ↑ ↗
← S 43.036776°
W 42.143555°		 ← 446.48 m → S 43.036776°
W 42.138061°		 →
↑
446.42 m
↓
↑
446.42 m
↓
S 43.040791°
W 42.143555°		 ← 446.45 m →
199 310 m²		 S 43.040791°
W 42.138061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382942199707031 y=0.632698059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382942199707031 × 216)
    floor (0.382942199707031 × 65536)
    floor (25096.5)     		tx = 25096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632698059082031 × 216)
    floor (0.632698059082031 × 65536)
    floor (41464.5)     		ty = 41464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25096 / 41464 ti = "16/25096/41464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25096/41464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25096 ÷ 216
    25096 ÷ 65536     		x = 0.3829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41464 ÷ 216
    41464 ÷ 65536     		y = 0.6326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73554379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6326904296875 × 2 - 1) × π
    -0.265380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.833718558192017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73554379} λ = -0.73554379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833718558192017))-π/2
    2×atan(0.434430822716276)-π/2
    2×0.409831444327101-π/2
    0.819662888654203-1.57079632675     		φ = -0.75113344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73554379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.143555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75113344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.036776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25096 KachelY 41464 -0.73554379 -0.75113344 -42.143555 -43.036776
    Oben rechts KachelX + 1 25097 KachelY 41464 -0.73544791 -0.75113344 -42.138061 -43.036776
    Unten links KachelX 25096 KachelY + 1 41465 -0.73554379 -0.75120351 -42.143555 -43.040791
    Unten rechts KachelX + 1 25097 KachelY + 1 41465 -0.73544791 -0.75120351 -42.138061 -43.040791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75113344--0.75120351) × R
    7.00699999999221e-05 × 6371000     		dl = 446.415969999504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75113344--0.75120351) × R
    7.00699999999221e-05 × 6371000     		dr = 446.415969999504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73554379--0.73544791) × cos(-0.75113344) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.730915802407826 × 6371000     		do = 446.480999656432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73554379--0.73544791) × cos(-0.75120351) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.730867980105482 × 6371000     		du = 446.451787332269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75113344)-sin(-0.75120351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730915802407826-0.730867980105482)×R²
    abs(-0.73544791--0.73554379)×4.78223023433477e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78223023433477e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78223023433477e-05×40589641000000     		ar = 199309.728205196m²