Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25604 / 9220
↖ ↑ ↗
← N 78.057443°
W 39.353027°		 ← 126.40 m → N 78.057443°
W 39.347534°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
N 78.056306°
W 39.353027°		 ← 126.42 m →
15 978 m²		 N 78.056306°
W 39.347534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390693664550781 y=0.140693664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390693664550781 × 216)
    floor (0.390693664550781 × 65536)
    floor (25604.5)     		tx = 25604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140693664550781 × 216)
    floor (0.140693664550781 × 65536)
    floor (9220.5)     		ty = 9220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25604 / 9220 ti = "16/25604/9220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25604/9220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25604 ÷ 216
    25604 ÷ 65536     		x = 0.39068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9220 ÷ 216
    9220 ÷ 65536     		y = 0.14068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.2186279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68683990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14068603515625 × 2 - 1) × π
    0.7186279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25763622450616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68683990} λ = -0.68683990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25763622450616))-π/2
    2×atan(9.56046364679644)-π/2
    2×1.46657785830786-π/2
    2.93315571661572-1.57079632675     		φ = 1.36235939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68683990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.353027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36235939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.057443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25604 KachelY 9220 -0.68683990 1.36235939 -39.353027 78.057443
    Oben rechts KachelX + 1 25605 KachelY 9220 -0.68674402 1.36235939 -39.347534 78.057443
    Unten links KachelX 25604 KachelY + 1 9221 -0.68683990 1.36233955 -39.353027 78.056306
    Unten rechts KachelX + 1 25605 KachelY + 1 9221 -0.68674402 1.36233955 -39.347534 78.056306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36235939-1.36233955) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36235939-1.36233955) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68683990--0.68674402) × cos(1.36235939) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20693092168125 × 6371000     		do = 126.404059766673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68683990--0.68674402) × cos(1.36233955) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20695033221475 × 6371000     		du = 126.415916719789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36235939)-sin(1.36233955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20693092168125-0.20695033221475)×R²
    abs(-0.68674402--0.68683990)×1.94105335000194e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94105335000194e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94105335000194e-05×40589641000000     		ar = 15978.3034168978m²