Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25616 / 41968
↖ ↑ ↗
← S 45.026951°
W 39.287109°		 ← 431.69 m → S 45.026951°
W 39.281616°		 →
↑
431.70 m
↓
↑
431.70 m
↓
S 45.030833°
W 39.287109°		 ← 431.66 m →
186 353 m²		 S 45.030833°
W 39.281616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390876770019531 y=0.640388488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390876770019531 × 216)
    floor (0.390876770019531 × 65536)
    floor (25616.5)     		tx = 25616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640388488769531 × 216)
    floor (0.640388488769531 × 65536)
    floor (41968.5)     		ty = 41968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25616 / 41968 ti = "16/25616/41968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25616/41968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25616 ÷ 216
    25616 ÷ 65536     		x = 0.390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41968 ÷ 216
    41968 ÷ 65536     		y = 0.640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.21826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68568941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640380859375 × 2 - 1) × π
    -0.28076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.882038953009033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68568941} λ = -0.68568941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882038953009033))-π/2
    2×atan(0.413938050424611)-π/2
    2×0.392463894636138-π/2
    0.784927789272276-1.57079632675     		φ = -0.78586854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68568941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78586854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.026951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25616 KachelY 41968 -0.68568941 -0.78586854 -39.287109 -45.026951
    Oben rechts KachelX + 1 25617 KachelY 41968 -0.68559354 -0.78586854 -39.281616 -45.026951
    Unten links KachelX 25616 KachelY + 1 41969 -0.68568941 -0.78593630 -39.287109 -45.030833
    Unten rechts KachelX + 1 25617 KachelY + 1 41969 -0.68559354 -0.78593630 -39.281616 -45.030833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78586854--0.78593630) × R
    6.77600000000833e-05 × 6371000     		dl = 431.698960000531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78586854--0.78593630) × R
    6.77600000000833e-05 × 6371000     		dr = 431.698960000531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68568941--0.68559354) × cos(-0.78586854) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.706774096488284 × 6371000     		do = 431.688974288334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68568941--0.68559354) × cos(-0.78593630) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.706726158778166 × 6371000     		du = 431.659694521272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78586854)-sin(-0.78593630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706774096488284-0.706726158778166)×R²
    abs(-0.68559354--0.68568941)×4.79377101182399e-05×R²
    9.58700000001089e-05×4.79377101182399e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×4.79377101182399e-05×40589641000000     		ar = 186353.36129248m²