Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25620 / 42004
↖ ↑ ↗
← S 45.166547°
W 39.265137°		 ← 430.68 m → S 45.166547°
W 39.259643°		 →
↑
430.62 m
↓
↑
430.62 m
↓
S 45.170420°
W 39.265137°		 ← 430.65 m →
185 451 m²		 S 45.170420°
W 39.259643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390937805175781 y=0.640937805175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390937805175781 × 216)
    floor (0.390937805175781 × 65536)
    floor (25620.5)     		tx = 25620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640937805175781 × 216)
    floor (0.640937805175781 × 65536)
    floor (42004.5)     		ty = 42004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25620 / 42004 ti = "16/25620/42004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25620/42004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25620 ÷ 216
    25620 ÷ 65536     		x = 0.39093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42004 ÷ 216
    42004 ÷ 65536     		y = 0.64093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.2181396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68530592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.2818603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.885490409781677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68530592} λ = -0.68530592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885490409781677))-π/2
    2×atan(0.412511823832566)-π/2
    2×0.391245683575433-π/2
    0.782491367150866-1.57079632675     		φ = -0.78830496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68530592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.265137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78830496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.166547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25620 KachelY 42004 -0.68530592 -0.78830496 -39.265137 -45.166547
    Oben rechts KachelX + 1 25621 KachelY 42004 -0.68521004 -0.78830496 -39.259643 -45.166547
    Unten links KachelX 25620 KachelY + 1 42005 -0.68530592 -0.78837255 -39.265137 -45.170420
    Unten rechts KachelX + 1 25621 KachelY + 1 42005 -0.68521004 -0.78837255 -39.259643 -45.170420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78830496--0.78837255) × R
    6.75899999998952e-05 × 6371000     		dl = 430.615889999333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78830496--0.78837255) × R
    6.75899999998952e-05 × 6371000     		dr = 430.615889999333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68530592--0.68521004) × cos(-0.78830496) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.705048381156457 × 6371000     		do = 430.679847101242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68530592--0.68521004) × cos(-0.78837255) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.705000447475249 × 6371000     		du = 430.650566741134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78830496)-sin(-0.78837255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705048381156457-0.705000447475249)×R²
    abs(-0.68521004--0.68530592)×4.79336812082565e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79336812082565e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79336812082565e-05×40589641000000     		ar = 185451.281440775m²