Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 262 / 178
↖ ↑ ↗
← N 47.989922°
E  4.218750°		 ← 52.325 km → N 47.989922°
E  4.921875°		 →
↑
52.564 km
↓
↑
52.564 km
↓
N 47.517200°
E  4.218750°		 ← 52.803 km →
2 763.01 km²		 N 47.517200°
E  4.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5126953125 y=0.3486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5126953125 × 29)
    floor (0.5126953125 × 512)
    floor (262.5)     		tx = 262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3486328125 × 29)
    floor (0.3486328125 × 512)
    floor (178.5)     		ty = 178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 262 / 178 ti = "9/262/178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/262/178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 262 ÷ 29
    262 ÷ 512     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 178 ÷ 29
    178 ÷ 512     		y = 0.34765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34765625 × 2 - 1) × π
    0.3046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.957204011613281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957204011613281))-π/2
    2×atan(2.60440439944139)-π/2
    2×1.20418923382357-π/2
    2.40837846764713-1.57079632675     		φ = 0.83758214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83758214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.989922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 262 KachelY 178 0.07363108 0.83758214 4.218750 47.989922
    Oben rechts KachelX + 1 263 KachelY 178 0.08590292 0.83758214 4.921875 47.989922
    Unten links KachelX 262 KachelY + 1 179 0.07363108 0.82933160 4.218750 47.517200
    Unten rechts KachelX + 1 263 KachelY + 1 179 0.08590292 0.82933160 4.921875 47.517200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83758214-0.82933160) × R
    0.00825054000000003 × 6371000     		dl = 52564.1903400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83758214-0.82933160) × R
    0.00825054000000003 × 6371000     		dr = 52564.1903400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.08590292) × cos(0.83758214) × R
    0.01227184 × 0.669261315892548 × 6371000     		do = 52325.4548698481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.08590292) × cos(0.82933160) × R
    0.01227184 × 0.675368842609735 × 6371000     		du = 52802.9650830006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83758214)-sin(0.82933160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669261315892548-0.675368842609735)×R²
    abs(0.08590292-0.07363108)×0.00610752671718751×R²
    0.01227184×0.00610752671718751×6371000²
    0.01227184×0.00610752671718751×40589641000000     		ar = 2763010811.79379m²