Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 263 / 183
↖ ↑ ↗
← N 45.583290°
E  4.921875°		 ← 54.719 km → N 45.583290°
E  5.625000°		 →
↑
54.959 km
↓
↑
54.959 km
↓
N 45.089036°
E  4.921875°		 ← 55.198 km →
3 020.46 km²		 N 45.089036°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5146484375 y=0.3583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5146484375 × 29)
    floor (0.5146484375 × 512)
    floor (263.5)     		tx = 263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3583984375 × 29)
    floor (0.3583984375 × 512)
    floor (183.5)     		ty = 183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 263 / 183 ti = "9/263/183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/263/183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 263 ÷ 29
    263 ÷ 512     		x = 0.513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 183 ÷ 29
    183 ÷ 512     		y = 0.357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513671875 × 2 - 1) × π
    0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357421875 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.895844780099609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08590292} λ = 0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.895844780099609))-π/2
    2×atan(2.44940412355505)-π/2
    2×1.18318740845494-π/2
    2.36637481690989-1.57079632675     		φ = 0.79557849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79557849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.583290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 263 KachelY 183 0.08590292 0.79557849 4.921875 45.583290
    Oben rechts KachelX + 1 264 KachelY 183 0.09817477 0.79557849 5.625000 45.583290
    Unten links KachelX 263 KachelY + 1 184 0.08590292 0.78695213 4.921875 45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 264 KachelY + 1 184 0.09817477 0.78695213 5.625000 45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79557849-0.78695213) × R
    0.00862636000000006 × 6371000     		dl = 54958.5395600004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79557849-0.78695213) × R
    0.00862636000000006 × 6371000     		dr = 54958.5395600004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08590292-0.09817477) × cos(0.79557849) × R
    0.01227185 × 0.699871685931871 × 6371000     		do = 54718.7373434983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08590292-0.09817477) × cos(0.78695213) × R
    0.01227185 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 55198.4288788157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79557849)-sin(0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699871685931871-0.706007107541517)×R²
    abs(0.09817477-0.08590292)×0.0061354216096462×R²
    0.01227185×0.0061354216096462×6371000²
    0.01227185×0.0061354216096462×40589641000000     		ar = 3020462194.51064m²