Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 265 / 171
↖ ↑ ↗
← N 51.179343°
E  6.328125°		 ← 49.012 km → N 51.179343°
E  7.031250°		 →
↑
49.247 km
↓
↑
49.247 km
↓
N 50.736455°
E  6.328125°		 ← 49.482 km →
2 425.27 km²		 N 50.736455°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5185546875 y=0.3349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5185546875 × 29)
    floor (0.5185546875 × 512)
    floor (265.5)     		tx = 265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3349609375 × 29)
    floor (0.3349609375 × 512)
    floor (171.5)     		ty = 171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 265 / 171 ti = "9/265/171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/265/171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 265 ÷ 29
    265 ÷ 512     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 171 ÷ 29
    171 ÷ 512     		y = 0.333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333984375 × 2 - 1) × π
    0.33203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04310693573242))-π/2
    2×atan(2.8380208792274)-π/2
    2×1.23202218538612-π/2
    2.46404437077225-1.57079632675     		φ = 0.89324804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89324804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.179343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 265 KachelY 171 0.11044662 0.89324804 6.328125 51.179343
    Oben rechts KachelX + 1 266 KachelY 171 0.12271846 0.89324804 7.031250 51.179343
    Unten links KachelX 265 KachelY + 1 172 0.11044662 0.88551819 6.328125 50.736455
    Unten rechts KachelX + 1 266 KachelY + 1 172 0.12271846 0.88551819 7.031250 50.736455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89324804-0.88551819) × R
    0.00772985000000004 × 6371000     		dl = 49246.8743500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89324804-0.88551819) × R
    0.00772985000000004 × 6371000     		dr = 49246.8743500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.12271846) × cos(0.89324804) × R
    0.01227184 × 0.626884750821521 × 6371000     		do = 49012.2900558829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.12271846) × cos(0.88551819) × R
    0.01227184 × 0.632888381473458 × 6371000     		du = 49481.6772702242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89324804)-sin(0.88551819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626884750821521-0.632888381473458)×R²
    abs(0.12271846-0.11044662)×0.00600363065193754×R²
    0.01227184×0.00600363065193754×6371000²
    0.01227184×0.00600363065193754×40589641000000     		ar = 2425272092.53432m²