Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26626 / 2050
↖ ↑ ↗
← N 82.673483°
E112.521972°		 ← 155.79 m → N 82.673483°
E112.532959°		 →
↑
155.77 m
↓
↑
155.77 m
↓
N 82.672083°
E112.521972°		 ← 155.82 m →
24 270 m²		 N 82.672083°
E112.532959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812576293945312 y=0.0625762939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812576293945312 × 215)
    floor (0.812576293945312 × 32768)
    floor (26626.5)     		tx = 26626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0625762939453125 × 215)
    floor (0.0625762939453125 × 32768)
    floor (2050.5)     		ty = 2050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26626 / 2050 ti = "15/26626/2050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26626/2050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26626 ÷ 215
    26626 ÷ 32768     		x = 0.81256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2050 ÷ 215
    2050 ÷ 32768     		y = 0.06256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81256103515625 × 2 - 1) × π
    0.6251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96387890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06256103515625 × 2 - 1) × π
    0.8748779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.74851007661554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96387890} λ = 1.96387890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74851007661554))-π/2
    2×atan(15.6193429148476)-π/2
    2×1.50686040878437-π/2
    3.01372081756873-1.57079632675     		φ = 1.44292449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96387890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.521972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44292449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.673483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26626 KachelY 2050 1.96387890 1.44292449 112.521972 82.673483
    Oben rechts KachelX + 1 26627 KachelY 2050 1.96407065 1.44292449 112.532959 82.673483
    Unten links KachelX 26626 KachelY + 1 2051 1.96387890 1.44290004 112.521972 82.672083
    Unten rechts KachelX + 1 26627 KachelY + 1 2051 1.96407065 1.44290004 112.532959 82.672083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44292449-1.44290004) × R
    2.44499999999537e-05 × 6371000     		dl = 155.770949999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44292449-1.44290004) × R
    2.44499999999537e-05 × 6371000     		dr = 155.770949999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96387890-1.96407065) × cos(1.44292449) × R
    0.000191749999999935 × 0.127523645113288 × 6371000     		do = 155.78789017341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96387890-1.96407065) × cos(1.44290004) × R
    0.000191749999999935 × 0.127547895453894 × 6371000     		du = 155.81751534132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44292449)-sin(1.44290004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127523645113288-0.127547895453894)×R²
    abs(1.96407065-1.96387890)×2.4250340605908e-05×R²
    0.000191749999999935×2.4250340605908e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.4250340605908e-05×40589641000000     		ar = 24269.5350228095m²