Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26656 / 2080
↖ ↑ ↗
← N 82.631333°
E112.851562°		 ← 156.68 m → N 82.631333°
E112.862549°		 →
↑
156.66 m
↓
↑
156.66 m
↓
N 82.629924°
E112.851562°		 ← 156.71 m →
24 548 m²		 N 82.629924°
E112.862549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813491821289062 y=0.0634918212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813491821289062 × 215)
    floor (0.813491821289062 × 32768)
    floor (26656.5)     		tx = 26656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0634918212890625 × 215)
    floor (0.0634918212890625 × 32768)
    floor (2080.5)     		ty = 2080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26656 / 2080 ti = "15/26656/2080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26656/2080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26656 ÷ 215
    26656 ÷ 32768     		x = 0.8134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2080 ÷ 215
    2080 ÷ 32768     		y = 0.0634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8134765625 × 2 - 1) × π
    0.626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96963133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0634765625 × 2 - 1) × π
    0.873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.74275764866113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96963133} λ = 1.96963133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74275764866113))-π/2
    2×atan(15.5297517005883)-π/2
    2×1.50649257519657-π/2
    3.01298515039315-1.57079632675     		φ = 1.44218882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96963133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44218882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.631333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26656 KachelY 2080 1.96963133 1.44218882 112.851562 82.631333
    Oben rechts KachelX + 1 26657 KachelY 2080 1.96982308 1.44218882 112.862549 82.631333
    Unten links KachelX 26656 KachelY + 1 2081 1.96963133 1.44216423 112.851562 82.629924
    Unten rechts KachelX + 1 26657 KachelY + 1 2081 1.96982308 1.44216423 112.862549 82.629924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44218882-1.44216423) × R
    2.4589999999991e-05 × 6371000     		dl = 156.662889999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44218882-1.44216423) × R
    2.4589999999991e-05 × 6371000     		dr = 156.662889999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96963133-1.96982308) × cos(1.44218882) × R
    0.000191750000000157 × 0.128253274183776 × 6371000     		do = 156.679233684041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96963133-1.96982308) × cos(1.44216423) × R
    0.000191750000000157 × 0.128277661067179 × 6371000     		du = 156.709025657992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44218882)-sin(1.44216423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.128253274183776-0.128277661067179)×R²
    abs(1.96982308-1.96963133)×2.43868834034766e-05×R²
    0.000191750000000157×2.43868834034766e-05×6371000²
    0.000191750000000157×2.43868834034766e-05×40589641000000     		ar = 24548.155201053m²