Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 267 / 165
↖ ↑ ↗
← N 53.748711°
E  7.734375°		 ← 46.232 km → N 53.748711°
E  8.437500°		 →
↑
46.461 km
↓
↑
46.461 km
↓
N 53.330873°
E  7.734375°		 ← 46.691 km →
2 158.68 km²		 N 53.330873°
E  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5224609375 y=0.3232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5224609375 × 29)
    floor (0.5224609375 × 512)
    floor (267.5)     		tx = 267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3232421875 × 29)
    floor (0.3232421875 × 512)
    floor (165.5)     		ty = 165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 267 / 165 ti = "9/267/165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/267/165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 267 ÷ 29
    267 ÷ 512     		x = 0.521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 165 ÷ 29
    165 ÷ 512     		y = 0.322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521484375 × 2 - 1) × π
    0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322265625 × 2 - 1) × π
    0.35546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11673801354883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13499031} λ = 0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11673801354883))-π/2
    2×atan(3.05487297856743)-π/2
    2×1.25444414944207-π/2
    2.50888829888413-1.57079632675     		φ = 0.93809197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93809197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.748711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 267 KachelY 165 0.13499031 0.93809197 7.734375 53.748711
    Oben rechts KachelX + 1 268 KachelY 165 0.14726216 0.93809197 8.437500 53.748711
    Unten links KachelX 267 KachelY + 1 166 0.13499031 0.93079933 7.734375 53.330873
    Unten rechts KachelX + 1 268 KachelY + 1 166 0.14726216 0.93079933 8.437500 53.330873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93809197-0.93079933) × R
    0.00729263999999996 × 6371000     		dl = 46461.4094399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93809197-0.93079933) × R
    0.00729263999999996 × 6371000     		dr = 46461.4094399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13499031-0.14726216) × cos(0.93809197) × R
    0.01227185 × 0.591327795594016 × 6371000     		do = 46232.3465592643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13499031-0.14726216) × cos(0.93079933) × R
    0.01227185 × 0.597193032501625 × 6371000     		du = 46690.9139856312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93809197)-sin(0.93079933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591327795594016-0.597193032501625)×R²
    abs(0.14726216-0.13499031)×0.00586523690760943×R²
    0.01227185×0.00586523690760943×6371000²
    0.01227185×0.00586523690760943×40589641000000     		ar = 2158682394.37475m²