Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 267 / 173
↖ ↑ ↗
← N 50.289339°
E  7.734375°		 ← 49.953 km → N 50.289339°
E  8.437500°		 →
↑
50.189 km
↓
↑
50.189 km
↓
N 49.837983°
E  7.734375°		 ← 50.425 km →
2 518.91 km²		 N 49.837983°
E  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5224609375 y=0.3388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5224609375 × 29)
    floor (0.5224609375 × 512)
    floor (267.5)     		tx = 267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3388671875 × 29)
    floor (0.3388671875 × 512)
    floor (173.5)     		ty = 173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 267 / 173 ti = "9/267/173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/267/173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 267 ÷ 29
    267 ÷ 512     		x = 0.521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 173 ÷ 29
    173 ÷ 512     		y = 0.337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521484375 × 2 - 1) × π
    0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337890625 × 2 - 1) × π
    0.32421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01856324312695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13499031} λ = 0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01856324312695))-π/2
    2×atan(2.76921321826836)-π/2
    2×1.22425543769933-π/2
    2.44851087539866-1.57079632675     		φ = 0.87771455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87771455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.289339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 267 KachelY 173 0.13499031 0.87771455 7.734375 50.289339
    Oben rechts KachelX + 1 268 KachelY 173 0.14726216 0.87771455 8.437500 50.289339
    Unten links KachelX 267 KachelY + 1 174 0.13499031 0.86983689 7.734375 49.837983
    Unten rechts KachelX + 1 268 KachelY + 1 174 0.14726216 0.86983689 8.437500 49.837983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87771455-0.86983689) × R
    0.00787766000000001 × 6371000     		dl = 50188.5718600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87771455-0.86983689) × R
    0.00787766000000001 × 6371000     		dr = 50188.5718600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13499031-0.14726216) × cos(0.87771455) × R
    0.01227185 × 0.638910963826672 × 6371000     		do = 49952.586907361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13499031-0.14726216) × cos(0.86983689) × R
    0.01227185 × 0.644951208354603 × 6371000     		du = 50424.837121876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87771455)-sin(0.86983689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638910963826672-0.644951208354603)×R²
    abs(0.14726216-0.13499031)×0.00604024452793028×R²
    0.01227185×0.00604024452793028×6371000²
    0.01227185×0.00604024452793028×40589641000000     		ar = 2518912805.97828m²