Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 270 / 162
↖ ↑ ↗
← N 54.977613°
E  9.843750°		 ← 44.869 km → N 54.977613°
E 10.546875°		 →
↑
45.095 km
↓
↑
45.095 km
↓
N 54.572062°
E  9.843750°		 ← 45.322 km →
2 033.60 km²		 N 54.572062°
E 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5283203125 y=0.3173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5283203125 × 29)
    floor (0.5283203125 × 512)
    floor (270.5)     		tx = 270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3173828125 × 29)
    floor (0.3173828125 × 512)
    floor (162.5)     		ty = 162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 270 / 162 ti = "9/270/162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/270/162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 270 ÷ 29
    270 ÷ 512     		x = 0.52734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 162 ÷ 29
    162 ÷ 512     		y = 0.31640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52734375 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31640625 × 2 - 1) × π
    0.3671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15355355245703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17180585} λ = 0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15355355245703))-π/2
    2×atan(3.16943567791621)-π/2
    2×1.26516835010953-π/2
    2.53033670021907-1.57079632675     		φ = 0.95954037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95954037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.977613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 270 KachelY 162 0.17180585 0.95954037 9.843750 54.977613
    Oben rechts KachelX + 1 271 KachelY 162 0.18407769 0.95954037 10.546875 54.977613
    Unten links KachelX 270 KachelY + 1 163 0.17180585 0.95246216 9.843750 54.572062
    Unten rechts KachelX + 1 271 KachelY + 1 163 0.18407769 0.95246216 10.546875 54.572062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95954037-0.95246216) × R
    0.00707821000000008 × 6371000     		dl = 45095.2759100005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95954037-0.95246216) × R
    0.00707821000000008 × 6371000     		dr = 45095.2759100005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17180585-0.18407769) × cos(0.95954037) × R
    0.01227184 × 0.573896450498898 × 6371000     		do = 44869.4584722828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17180585-0.18407769) × cos(0.95246216) × R
    0.01227184 × 0.579678569220153 × 6371000     		du = 45321.5270216172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95954037)-sin(0.95246216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573896450498898-0.579678569220153)×R²
    abs(0.18407769-0.17180585)×0.005782118721255×R²
    0.01227184×0.005782118721255×6371000²
    0.01227184×0.005782118721255×40589641000000     		ar = 2033602178.19644m²