Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 270 / 170
↖ ↑ ↗
← N 51.618016°
E  9.843750°		 ← 48.544 km → N 51.618016°
E 10.546875°		 →
↑
48.778 km
↓
↑
48.778 km
↓
N 51.179343°
E  9.843750°		 ← 49.012 km →
2 379.34 km²		 N 51.179343°
E 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5283203125 y=0.3330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5283203125 × 29)
    floor (0.5283203125 × 512)
    floor (270.5)     		tx = 270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3330078125 × 29)
    floor (0.3330078125 × 512)
    floor (170.5)     		ty = 170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 270 / 170 ti = "9/270/170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/270/170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 270 ÷ 29
    270 ÷ 512     		x = 0.52734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 170 ÷ 29
    170 ÷ 512     		y = 0.33203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52734375 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33203125 × 2 - 1) × π
    0.3359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05537878203516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17180585} λ = 0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05537878203516))-π/2
    2×atan(2.87306321255058)-π/2
    2×1.23585033445059-π/2
    2.47170066890119-1.57079632675     		φ = 0.90090434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90090434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.618016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 270 KachelY 170 0.17180585 0.90090434 9.843750 51.618016
    Oben rechts KachelX + 1 271 KachelY 170 0.18407769 0.90090434 10.546875 51.618016
    Unten links KachelX 270 KachelY + 1 171 0.17180585 0.89324804 9.843750 51.179343
    Unten rechts KachelX + 1 271 KachelY + 1 171 0.18407769 0.89324804 10.546875 51.179343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90090434-0.89324804) × R
    0.00765629999999995 × 6371000     		dl = 48778.2872999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90090434-0.89324804) × R
    0.00765629999999995 × 6371000     		dr = 48778.2872999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17180585-0.18407769) × cos(0.90090434) × R
    0.01227184 × 0.620901320323887 × 6371000     		do = 48544.482168237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17180585-0.18407769) × cos(0.89324804) × R
    0.01227184 × 0.626884750821521 × 6371000     		du = 49012.2900558828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90090434)-sin(0.89324804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620901320323887-0.626884750821521)×R²
    abs(0.18407769-0.17180585)×0.00598343049763339×R²
    0.01227184×0.00598343049763339×6371000²
    0.01227184×0.00598343049763339×40589641000000     		ar = 2379337754.66846m²