Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 276 / 212
↖ ↑ ↗
← N 29.535229°
E 14.062500°		 ← 68.024 km → N 29.535229°
E 14.765625°		 →
↑
68.229 km
↓
↑
68.229 km
↓
N 28.921631°
E 14.062500°		 ← 68.433 km →
4 655.21 km²		 N 28.921631°
E 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5400390625 y=0.4150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5400390625 × 29)
    floor (0.5400390625 × 512)
    floor (276.5)     		tx = 276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4150390625 × 29)
    floor (0.4150390625 × 512)
    floor (212.5)     		ty = 212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 276 / 212 ti = "9/276/212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/276/212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 276 ÷ 29
    276 ÷ 512     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 212 ÷ 29
    212 ÷ 512     		y = 0.4140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4140625 × 2 - 1) × π
    0.171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.539961237320313))-π/2
    2×atan(1.71594034644969)-π/2
    2×1.04314166399364-π/2
    2.08628332798729-1.57079632675     		φ = 0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 276 KachelY 212 0.24543693 0.51548700 14.062500 29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 277 KachelY 212 0.25770877 0.51548700 14.765625 29.535229
    Unten links KachelX 276 KachelY + 1 213 0.24543693 0.50477769 14.062500 28.921631
    Unten rechts KachelX + 1 277 KachelY + 1 213 0.25770877 0.50477769 14.765625 28.921631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51548700-0.50477769) × R
    0.0107093100000001 × 6371000     		dl = 68229.0140100005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51548700-0.50477769) × R
    0.0107093100000001 × 6371000     		dr = 68229.0140100005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.25770877) × cos(0.51548700) × R
    0.01227184 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 68024.1111593502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.25770877) × cos(0.50477769) × R
    0.01227184 × 0.875282008031053 × 6371000     		du = 68432.9545456233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51548700)-sin(0.50477769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.875282008031053)×R²
    abs(0.25770877-0.24543693)×0.00522925339821201×R²
    0.01227184×0.00522925339821201×6371000²
    0.01227184×0.00522925339821201×40589641000000     		ar = 4655210015.86534m²