Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 279 / 153
↖ ↑ ↗
← N 58.447733°
E 16.171875°		 ← 40.912 km → N 58.447733°
E 16.875000°		 →
↑
41.126 km
↓
↑
41.126 km
↓
N 58.077876°
E 16.171875°		 ← 41.341 km →
1 691.38 km²		 N 58.077876°
E 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5458984375 y=0.2998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5458984375 × 29)
    floor (0.5458984375 × 512)
    floor (279.5)     		tx = 279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2998046875 × 29)
    floor (0.2998046875 × 512)
    floor (153.5)     		ty = 153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 279 / 153 ti = "9/279/153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/279/153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 279 ÷ 29
    279 ÷ 512     		x = 0.544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 153 ÷ 29
    153 ÷ 512     		y = 0.298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544921875 × 2 - 1) × π
    0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298828125 × 2 - 1) × π
    0.40234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26400016918164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28225246} λ = 0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26400016918164))-π/2
    2×atan(3.53955201315604)-π/2
    2×1.29545085226489-π/2
    2.59090170452978-1.57079632675     		φ = 1.02010538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02010538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.447733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 279 KachelY 153 0.28225246 1.02010538 16.171875 58.447733
    Oben rechts KachelX + 1 280 KachelY 153 0.29452431 1.02010538 16.875000 58.447733
    Unten links KachelX 279 KachelY + 1 154 0.28225246 1.01365016 16.171875 58.077876
    Unten rechts KachelX + 1 280 KachelY + 1 154 0.29452431 1.01365016 16.875000 58.077876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02010538-1.01365016) × R
    0.00645521999999987 × 6371000     		dl = 41126.2066199992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02010538-1.01365016) × R
    0.00645521999999987 × 6371000     		dr = 41126.2066199992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28225246-0.29452431) × cos(1.02010538) × R
    0.01227185 × 0.523276153202488 × 6371000     		do = 40911.7999209793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28225246-0.29452431) × cos(1.01365016) × R
    0.01227185 × 0.528766113348559 × 6371000     		du = 41341.026725403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02010538)-sin(1.01365016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523276153202488-0.528766113348559)×R²
    abs(0.29452431-0.28225246)×0.00548996014607128×R²
    0.01227185×0.00548996014607128×6371000²
    0.01227185×0.00548996014607128×40589641000000     		ar = 1691379245.16858m²