Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2828 / 780
↖ ↑ ↗
← N 73.726594°
E 68.554687°		 ← 2 738.62 m → N 73.726594°
E 68.642578°		 →
↑
2 740.61 m
↓
↑
2 740.61 m
↓
N 73.701948°
E 68.554687°		 ← 2 742.65 m →
7 511 016 m²		 N 73.701948°
E 68.642578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6905517578125 y=0.1905517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6905517578125 × 212)
    floor (0.6905517578125 × 4096)
    floor (2828.5)     		tx = 2828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1905517578125 × 212)
    floor (0.1905517578125 × 4096)
    floor (780.5)     		ty = 780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2828 / 780 ti = "12/2828/780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2828/780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2828 ÷ 212
    2828 ÷ 4096     		x = 0.6904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 780 ÷ 212
    780 ÷ 4096     		y = 0.1904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6904296875 × 2 - 1) × π
    0.380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19650501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1904296875 × 2 - 1) × π
    0.619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9450876389834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19650501} λ = 1.19650501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9450876389834))-π/2
    2×atan(6.99424479667741)-π/2
    2×1.42878407530738-π/2
    2.85756815061476-1.57079632675     		φ = 1.28677182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19650501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28677182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.726594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2828 KachelY 780 1.19650501 1.28677182 68.554687 73.726594
    Oben rechts KachelX + 1 2829 KachelY 780 1.19803900 1.28677182 68.642578 73.726594
    Unten links KachelX 2828 KachelY + 1 781 1.19650501 1.28634165 68.554687 73.701948
    Unten rechts KachelX + 1 2829 KachelY + 1 781 1.19803900 1.28634165 68.642578 73.701948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28677182-1.28634165) × R
    0.000430170000000007 × 6371000     		dl = 2740.61307000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28677182-1.28634165) × R
    0.000430170000000007 × 6371000     		dr = 2740.61307000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19650501-1.19803900) × cos(1.28677182) × R
    0.00153398999999999 × 0.280221174249523 × 6371000     		do = 2738.61562826341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19650501-1.19803900) × cos(1.28634165) × R
    0.00153398999999999 × 0.280634083748055 × 6371000     		du = 2742.65101355779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28677182)-sin(1.28634165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280221174249523-0.280634083748055)×R²
    abs(1.19803900-1.19650501)×0.000412909498532454×R²
    0.00153398999999999×0.000412909498532454×6371000²
    0.00153398999999999×0.000412909498532454×40589641000000     		ar = 7511015.61518933m²