Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28672 / 20481
↖ ↑ ↗
← N 55.773483°
W 22.500000°		 ← 343.55 m → N 55.773483°
W 22.494507°		 →
↑
343.59 m
↓
↑
343.59 m
↓
N 55.770393°
W 22.500000°		 ← 343.57 m →
118 043 m²		 N 55.770393°
W 22.494507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437507629394531 y=0.312522888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437507629394531 × 216)
    floor (0.437507629394531 × 65536)
    floor (28672.5)     		tx = 28672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312522888183594 × 216)
    floor (0.312522888183594 × 65536)
    floor (20481.5)     		ty = 20481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28672 / 20481 ti = "16/28672/20481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28672/20481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28672 ÷ 216
    28672 ÷ 65536     		x = 0.4375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20481 ÷ 216
    20481 ÷ 65536     		y = 0.312515258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4375 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312515258789062 × 2 - 1) × π
    0.374969482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17800137126326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39269908} λ = -0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17800137126326))-π/2
    2×atan(3.24787641258584)-π/2
    2×1.27211362390345-π/2
    2.5442272478069-1.57079632675     		φ = 0.97343092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97343092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.773483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28672 KachelY 20481 -0.39269908 0.97343092 -22.500000 55.773483
    Oben rechts KachelX + 1 28673 KachelY 20481 -0.39260321 0.97343092 -22.494507 55.773483
    Unten links KachelX 28672 KachelY + 1 20482 -0.39269908 0.97337699 -22.500000 55.770393
    Unten rechts KachelX + 1 28673 KachelY + 1 20482 -0.39260321 0.97337699 -22.494507 55.770393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97343092-0.97337699) × R
    5.39299999999798e-05 × 6371000     		dl = 343.588029999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97343092-0.97337699) × R
    5.39299999999798e-05 × 6371000     		dr = 343.588029999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39269908--0.39260321) × cos(0.97343092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562466092694 × 6371000     		do = 343.547410457174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39269908--0.39260321) × cos(0.97337699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562510682297614 × 6371000     		du = 343.57464524173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97343092)-sin(0.97337699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562466092694-0.562510682297614)×R²
    abs(-0.39260321--0.39269908)×4.45896036138649e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45896036138649e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45896036138649e-05×40589641000000     		ar = 118043.456772376m²