Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28674 / 20482
↖ ↑ ↗
← N 55.770393°
W 22.489013°		 ← 343.57 m → N 55.770393°
W 22.483520°		 →
↑
343.59 m
↓
↑
343.59 m
↓
N 55.767303°
W 22.489013°		 ← 343.60 m →
118 053 m²		 N 55.767303°
W 22.483520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437538146972656 y=0.312538146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437538146972656 × 216)
    floor (0.437538146972656 × 65536)
    floor (28674.5)     		tx = 28674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312538146972656 × 216)
    floor (0.312538146972656 × 65536)
    floor (20482.5)     		ty = 20482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28674 / 20482 ti = "16/28674/20482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28674/20482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28674 ÷ 216
    28674 ÷ 65536     		x = 0.437530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20482 ÷ 216
    20482 ÷ 65536     		y = 0.312530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.12493896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39250733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312530517578125 × 2 - 1) × π
    0.37493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17790549746402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39250733} λ = -0.39250733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17790549746402))-π/2
    2×atan(3.24756504126112)-π/2
    2×1.27208665995417-π/2
    2.54417331990834-1.57079632675     		φ = 0.97337699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39250733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.489013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97337699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.770393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28674 KachelY 20482 -0.39250733 0.97337699 -22.489013 55.770393
    Oben rechts KachelX + 1 28675 KachelY 20482 -0.39241146 0.97337699 -22.483520 55.770393
    Unten links KachelX 28674 KachelY + 1 20483 -0.39250733 0.97332306 -22.489013 55.767303
    Unten rechts KachelX + 1 28675 KachelY + 1 20483 -0.39241146 0.97332306 -22.483520 55.767303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97337699-0.97332306) × R
    5.39299999999798e-05 × 6371000     		dl = 343.588029999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97337699-0.97332306) × R
    5.39299999999798e-05 × 6371000     		dr = 343.588029999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39250733--0.39241146) × cos(0.97337699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562510682297614 × 6371000     		do = 343.57464524173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39250733--0.39241146) × cos(0.97332306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562555270265196 × 6371000     		du = 343.601879027019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97337699)-sin(0.97332306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562510682297614-0.562555270265196)×R²
    abs(-0.39241146--0.39250733)×4.45879675824434e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45879675824434e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45879675824434e-05×40589641000000     		ar = 118052.814146369m²