Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28944 / 20752
↖ ↑ ↗
← S 43.197167°
E137.988281°		 ← 890.53 m → S 43.197167°
E137.999267°		 →
↑
890.47 m
↓
↑
890.47 m
↓
S 43.205176°
E137.988281°		 ← 890.41 m →
792 944 m²		 S 43.205176°
E137.999267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.883316040039062 y=0.633316040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.883316040039062 × 215)
    floor (0.883316040039062 × 32768)
    floor (28944.5)     		tx = 28944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633316040039062 × 215)
    floor (0.633316040039062 × 32768)
    floor (20752.5)     		ty = 20752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28944 / 20752 ti = "15/28944/20752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28944/20752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28944 ÷ 215
    28944 ÷ 32768     		x = 0.88330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20752 ÷ 215
    20752 ÷ 32768     		y = 0.63330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.88330078125 × 2 - 1) × π
    0.7666015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40834984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.837553510161621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40834984} λ = 2.40834984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837553510161621))-π/2
    2×atan(0.432767991853207)-π/2
    2×0.408431765098965-π/2
    0.81686353019793-1.57079632675     		φ = -0.75393280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40834984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75393280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.197167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28944 KachelY 20752 2.40834984 -0.75393280 137.988281 -43.197167
    Oben rechts KachelX + 1 28945 KachelY 20752 2.40854158 -0.75393280 137.999267 -43.197167
    Unten links KachelX 28944 KachelY + 1 20753 2.40834984 -0.75407257 137.988281 -43.205176
    Unten rechts KachelX + 1 28945 KachelY + 1 20753 2.40854158 -0.75407257 137.999267 -43.205176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75393280--0.75407257) × R
    0.000139770000000095 × 6371000     		dl = 890.474670000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75393280--0.75407257) × R
    0.000139770000000095 × 6371000     		dr = 890.474670000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40834984-2.40854158) × cos(-0.75393280) × R
    0.000191739999999996 × 0.729002468391097 × 6371000     		do = 890.531583986168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40834984-2.40854158) × cos(-0.75407257) × R
    0.000191739999999996 × 0.728906787158781 × 6371000     		du = 890.414702133133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75393280)-sin(-0.75407257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729002468391097-0.728906787158781)×R²
    abs(2.40854158-2.40834984)×9.56812323166245e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56812323166245e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56812323166245e-05×40589641000000     		ar = 792943.779501302m²