Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 292 / 228
↖ ↑ ↗
← N 19.311143°
E 25.312500°		 ← 73.785 km → N 19.311143°
E 26.015625°		 →
↑
73.933 km
↓
↑
73.933 km
↓
N 18.646245°
E 25.312500°		 ← 74.080 km →
5 466.14 km²		 N 18.646245°
E 26.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5712890625 y=0.4462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5712890625 × 29)
    floor (0.5712890625 × 512)
    floor (292.5)     		tx = 292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4462890625 × 29)
    floor (0.4462890625 × 512)
    floor (228.5)     		ty = 228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 292 / 228 ti = "9/292/228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/292/228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 292 ÷ 29
    292 ÷ 512     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 228 ÷ 29
    228 ÷ 512     		y = 0.4453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4453125 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.343611696476563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343611696476563))-π/2
    2×atan(1.41003100918292)-π/2
    2×0.953919680328065-π/2
    1.90783936065613-1.57079632675     		φ = 0.33704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.311143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 292 KachelY 228 0.44178647 0.33704303 25.312500 19.311143
    Oben rechts KachelX + 1 293 KachelY 228 0.45405831 0.33704303 26.015625 19.311143
    Unten links KachelX 292 KachelY + 1 229 0.44178647 0.32543837 25.312500 18.646245
    Unten rechts KachelX + 1 293 KachelY + 1 229 0.45405831 0.32543837 26.015625 18.646245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33704303-0.32543837) × R
    0.01160466 × 6371000     		dl = 73933.2888600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33704303-0.32543837) × R
    0.01160466 × 6371000     		dr = 73933.2888600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.45405831) × cos(0.33704303) × R
    0.01227184 × 0.94373665385257 × 6371000     		do = 73785.0052252424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.45405831) × cos(0.32543837) × R
    0.01227184 × 0.94751065997265 × 6371000     		du = 74080.0717145574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33704303)-sin(0.32543837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94373665385257-0.94751065997265)×R²
    abs(0.45405831-0.44178647)×0.00377400612007972×R²
    0.01227184×0.00377400612007972×6371000²
    0.01227184×0.00377400612007972×40589641000000     		ar = 5466137065.85897m²