Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 303 / 207
↖ ↑ ↗
← N 32.546813°
E 33.046875°		 ← 65.905 km → N 32.546813°
E 33.750000°		 →
↑
66.122 km
↓
↑
66.122 km
↓
N 31.952162°
E 33.046875°		 ← 66.338 km →
4 372.16 km²		 N 31.952162°
E 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5927734375 y=0.4052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5927734375 × 29)
    floor (0.5927734375 × 512)
    floor (303.5)     		tx = 303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4052734375 × 29)
    floor (0.4052734375 × 512)
    floor (207.5)     		ty = 207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 303 / 207 ti = "9/303/207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/303/207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 303 ÷ 29
    303 ÷ 512     		x = 0.591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 207 ÷ 29
    207 ÷ 512     		y = 0.404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591796875 × 2 - 1) × π
    0.18359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57677678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404296875 × 2 - 1) × π
    0.19140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.601320468833984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57677678} λ = 0.57677678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.601320468833984))-π/2
    2×atan(1.82452644073542)-π/2
    2×1.06942268884486-π/2
    2.13884537768971-1.57079632675     		φ = 0.56804905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57677678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56804905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.546813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 303 KachelY 207 0.57677678 0.56804905 33.046875 32.546813
    Oben rechts KachelX + 1 304 KachelY 207 0.58904862 0.56804905 33.750000 32.546813
    Unten links KachelX 303 KachelY + 1 208 0.57677678 0.55767043 33.046875 31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 304 KachelY + 1 208 0.58904862 0.55767043 33.750000 31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56804905-0.55767043) × R
    0.01037862 × 6371000     		dl = 66122.18802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56804905-0.55767043) × R
    0.01037862 × 6371000     		dr = 66122.18802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57677678-0.58904862) × cos(0.56804905) × R
    0.01227184 × 0.842952167416165 × 6371000     		do = 65905.2817579209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57677678-0.58904862) × cos(0.55767043) × R
    0.01227184 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 66338.2703262043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56804905)-sin(0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842952167416165-0.848490246343458)×R²
    abs(0.58904862-0.57677678)×0.0055380789272933×R²
    0.01227184×0.0055380789272933×6371000²
    0.01227184×0.0055380789272933×40589641000000     		ar = 4372155753.57754m²