Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3109 / 5157
↖ ↑ ↗
← S 42.195969°
W 43.374024°		 ← 3 620.17 m → S 42.195969°
W 43.330078°		 →
↑
3 619.24 m
↓
↑
3 619.24 m
↓
S 42.228518°
W 43.374024°		 ← 3 618.30 m →
13 098 872 m²		 S 42.228518°
W 43.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37957763671875 y=0.62957763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37957763671875 × 213)
    floor (0.37957763671875 × 8192)
    floor (3109.5)     		tx = 3109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62957763671875 × 213)
    floor (0.62957763671875 × 8192)
    floor (5157.5)     		ty = 5157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3109 / 5157 ti = "13/3109/5157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3109/5157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3109 ÷ 213
    3109 ÷ 8192     		x = 0.3795166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5157 ÷ 213
    5157 ÷ 8192     		y = 0.6295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3795166015625 × 2 - 1) × π
    -0.240966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75701952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.259033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.813776807950073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75701952} λ = -0.75701952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813776807950073))-π/2
    2×atan(0.443181091540834)-π/2
    2×0.417168870298557-π/2
    0.834337740597114-1.57079632675     		φ = -0.73645859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75701952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.374024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73645859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.195969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3109 KachelY 5157 -0.75701952 -0.73645859 -43.374024 -42.195969
    Oben rechts KachelX + 1 3110 KachelY 5157 -0.75625253 -0.73645859 -43.330078 -42.195969
    Unten links KachelX 3109 KachelY + 1 5158 -0.75701952 -0.73702667 -43.374024 -42.228518
    Unten rechts KachelX + 1 3110 KachelY + 1 5158 -0.75625253 -0.73702667 -43.330078 -42.228518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73645859--0.73702667) × R
    0.000568079999999971 × 6371000     		dl = 3619.23767999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73645859--0.73702667) × R
    0.000568079999999971 × 6371000     		dr = 3619.23767999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75701952--0.75625253) × cos(-0.73645859) × R
    0.000766989999999912 × 0.740851852913124 × 6371000     		do = 3620.16760814363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75701952--0.75625253) × cos(-0.73702667) × R
    0.000766989999999912 × 0.74047017196791 × 6371000     		du = 3618.30252676592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73645859)-sin(-0.73702667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740851852913124-0.74047017196791)×R²
    abs(-0.75625253--0.75701952)×0.00038168094521418×R²
    0.000766989999999912×0.00038168094521418×6371000²
    0.000766989999999912×0.00038168094521418×40589641000000     		ar = 13098872.2811758m²