Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31748 / 23556
↖ ↑ ↗
← N 45.073521°
W  5.603028°		 ← 431.38 m → N 45.073521°
W  5.597534°		 →
↑
431.38 m
↓
↑
431.38 m
↓
N 45.069641°
W  5.603028°		 ← 431.41 m →
186 096 m²		 N 45.069641°
W  5.597534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484443664550781 y=0.359443664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484443664550781 × 216)
    floor (0.484443664550781 × 65536)
    floor (31748.5)     		tx = 31748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359443664550781 × 216)
    floor (0.359443664550781 × 65536)
    floor (23556.5)     		ty = 23556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31748 / 23556 ti = "16/31748/23556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31748/23556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31748 ÷ 216
    31748 ÷ 65536     		x = 0.48443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23556 ÷ 216
    23556 ÷ 65536     		y = 0.35943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.0311279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09779128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35943603515625 × 2 - 1) × π
    0.2811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.883189438599915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09779128} λ = -0.09779128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883189438599915))-π/2
    2×atan(2.4186013985096)-π/2
    2×1.17873883341483-π/2
    2.35747766682967-1.57079632675     		φ = 0.78668134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09779128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.603028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78668134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.073521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31748 KachelY 23556 -0.09779128 0.78668134 -5.603028 45.073521
    Oben rechts KachelX + 1 31749 KachelY 23556 -0.09769540 0.78668134 -5.597534 45.073521
    Unten links KachelX 31748 KachelY + 1 23557 -0.09779128 0.78661363 -5.603028 45.069641
    Unten rechts KachelX + 1 31749 KachelY + 1 23557 -0.09769540 0.78661363 -5.597534 45.069641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78668134-0.78661363) × R
    6.77100000000541e-05 × 6371000     		dl = 431.380410000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78668134-0.78661363) × R
    6.77100000000541e-05 × 6371000     		dr = 431.380410000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09779128--0.09769540) × cos(0.78668134) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.706198856417924 × 6371000     		do = 431.382616617163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09779128--0.09769540) × cos(0.78661363) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.706246794395959 × 6371000     		du = 431.411899601994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78668134)-sin(0.78661363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706198856417924-0.706246794395959)×R²
    abs(-0.09769540--0.09779128)×4.79379780349287e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79379780349287e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79379780349287e-05×40589641000000     		ar = 186096.326147589m²